INTEGRAÇÃO NUMÉRICA – REGRA DE SIMPSON
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10ª LISTA DE CÁLCULO NUMÉRICOINTEGRAÇÃO NUMÉRICA – REGRA DE SIMPSON
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Fórmula de Simpson
Quando h não for suficientemente pequeno, o valor encontrado pela regra trapezoidal não apresenta boa precisão.
Para isto vamos aproximar a curva de p(x) por arcos de parábolas (polinômios de segundo grau). y
P1
P0
P2
P3
y = p(x)
P4
y = f(x)
X0
X1
X2
X3
X4
x
Seja:
X
Y
x0 y0 x1 y1 x2 y2 ........
........
x2n y2n No intervalo de [x0, x2] vamos aproximar f(x) pelo polinômio p(x) de segundo grau que passa por P0, P1, P2.
No intervalo de [x2, x4] vamos aproximar f(x) pelo polinômio p(x) de segundo grau que passa por P2, P3, P4. Até o intervalo [x2n-2, x2n].
Desta maneira obteremos uma curva formada por n “arcos”.
A área sob esta curva é uma aproximação da área sob a curva f(x).
No gráfico abaixo, vamos procurar a expressão que determina a área sob a parábola que passa por P0, P1, P2 , no caso em que x0 = 0; x1 = 1 e x2 = 2.
P0
P1
P2
p(t)
F(t) t 0
1
2
O polinômio p(t), que passa por P0, P1 e P2 , é um polinômio interpolador de 2ºgrau.
Métodos Matemáticos
2010
Prof. Paulo Cesar Alves
1
Usa-se o polinômio de Lagrange para obter P( t ) = L 0 ( t ) y 0 + L1 ( t ) y1 + L 2 ( t ) y 2 .
(t - 1)(t - 2) 1 2
L (t ) =
= t - 3t + 2
0
(0 - 1)(0 - 2) 2
(t - 0)(t - 2)
L (t ) =
= t (2 - t )
1
(1 - 0)(1 - 2)
(t - 0)(t - 1) 1 2
L (t ) =
= t − t
2
(2 - 0)(2 - 1) 2
2
2
2
2
0
0
0
0
Assim: ∫ P (t )dt = ∫ L0 (t ) y 0 dt + ∫ L1 (t ) y1 dt + ∫ L2 (t ) y 2 dt =
2
2
2
2
0
0
0
0
2
21
0
0
= ∫ P (t )dt = y 0 ∫ L0 (t )dt + y1 ∫ L1 (t )dt + y 2 ∫ L2 (t )dt =
= ∫ P (t )dt = y 0 ∫
2
∫
= P (t )dt =
0
(t
2
2
21
− 3t + 2 dt + y1 ∫ t (2 − t )dt + y 2 ∫ t 2 − t dt =
0
02
)
2
(
)
1
( y 0 + 4 y1 + y 2 )
3
No caso geral em que x0 ≠ 0, h ≠ 1, x1 = x0 + h e x2 =