Progressão Geométrica

01. Uma senhora teve um filho a cada dois anos , exceto no terceiro parto , quando nasceram duas crianças. Sabendo que todos os filhos estão vivos e que após o nascimento do último , em qualquer época , o número de filhos vezes a idade dos gêmeos é igual a soma das idades de cada um , determine o número de filhos que essa senhora teve.

RESPOSTA:1)numero de filhos = numero de partos +1 ja que em 1 parto nasceram 2 crianças. 2) numero de partos é maior ou igual a 3, ja que no terceiro parto nasceram gemeos. 3) seja n o numero de partos e t o numero de anos depois do nascimento do primeiro filho

ano zero 1 parto 1 criança t ano dois 1 parto 1 criança t-2 ano quatro 1 parto 3 crianças t-4 ano seis 1 parto 1 criança t-6 ano oito 1 parto 1 criança t-8

A ultima coluna é a idade das crianças t anos à partir do nascimento do primeiro filho

Para sabermos a idade do ultimo depois de n partos podemos fazer a seguinte correspondencia:

0 2 4 6 8 10 2n-2 (numero de anos ) 1 2 3 4 5 6 n (numero de partos)

ano (2n-2) 1 parto 1 criança t- (2n-2) é a idade da criança t anos depois do nascimento do primeiro e depois de n partos

Como a idade dos gemeos vezes o numero de filhos é igual a soma das idades dos filhos vem

(n+1)(t-4)= (t+t-2n+2)n/2+(t-4) para qualquer valor de t

Note que o segundo membro é a soma dos termos de uma PA com n termos mas devemos acrescentar (t-4) para contar o parto com gemeos

desenvolvendo

2nt-8n+2t-8=2tn-2n^2+2n+2t-8

simplificando

-2n^2+10n=0

n=0 n=5 Como a raiz zero não serve ao problema logo fica a raiz 5

Foram 5 partos e 6 filhos

Vamos conferir: Suponha que o primeiro filho tenha nascido em 1980 o segundo em 1982 os gemeos em 1984 o quarto parto em 1986 o quinto parto em 1988 Hoje , em 2009 o primeiro filho teria 29 anos o segundo teria 27 e os gemeos 25, o do quarto parto teria 23 e do quinto parto 21

A idade dos