Produto Escalar

1.2. Produto Escalar

Definição Algébrica

Chama-se produto escalar de dois vetores e , e se representa por , ao número real

O produto escalar de por também é indicado por e se lê “ escalar ”.

Exemplos

1) Dados os vetores e , tem-se 14
2) Sejam os vetores = (3, 2, 1) e = (-1, -4, -1). Calcular:
a)
b)
c)

Propriedades do Produto Escalar

Para quaisquer vetores , e e o número real , verificamos que:

i) ii) iii) iv) ;
v)

Exemplos
3) Sendo , e , calcular .
4) Mostrar que .

Definição Geométrica do Produto Escalar

Se e são vetores não nulos e o ângulo entre eles, então

Exemplos

5) Sendo , e 120o o ângulo entre e , calcular
a)
b)

Condição de ortogonalidade

Dois vetores e são ortogonais se, e somente se,

Exemplos

6) Mostrar que os vetores são ortogonais
a) e
b) e

7) Determinar um vetor ortogonal aos vetores e .

Cálculo do Ângulo de dois vetores

Da igualdade , vem

Exemplos

8) Calcular o ângulo entre os vetores e .

Ângulos Diretores e Co-senos Diretores de um vetor

Seja o vetor não nulo, ângulos diretores de são os ângulos ,  e  que forma com os vetores , e , respectivamente, ver figura 1

Figura 1

Co-senos diretores de são os co-senos de seus ângulos diretores, isto é, cos , cos  e cos .

Notemos que os co-senos diretores de são as componentes do versor de :

Como o versor é um vetor unitário decorre que

Exemplos

9) Calcular os ângulos diretores de .

10) Obter o vetor , sabendo que , é ortogonal ao eixo Oz, forma ângulo de 60o com o vetor e ângulo obtuso com .

Projeção de um vetor sobre outro

Sejam os vetores e não nulos e o ângulo entre eles. Pretendemos decompor um dos vetores, digamos , tal que

sendo e .

A Figura 2 ilustra as duas situações possíveis, podendo ser um ângulo agudo (a) ou obtuso (b).

Figura 2

O vetor é chamado