Produto escalar

Produto Escalar
Definição:
Pode ser definido como uma operação entre dois vetores cujo resultado obtido é um escalar. O escalar sempre será definido por um número real.
O produto escalar de dois vetores A,B é o escalar denotado A ∙ B definido por:
Quando, A= (A1, A2) e B = (B1, B2) são vetores no plano, pode se definir que:
A ∙ B = (A1.B1) + (A2.B2)
Quando, A = (A1, A2, A3) e B = (B1, B2, B3) são vetores no espaço, pode se definir que:
A ∙ B = (A1.B1) + (A2.B2) + (A3B3)

Pode-se utilizar o número real obtido através do produto escalar, para identificar como os vetores estão dispostos entre si.
Dessa forma temos: Ângulo agudo: A ∙ B > 0

Ângulo obtuso: A∙ B < 0

Ângulo reto: A ∙ B = 0

Interpretação Geométrica

Se A; B são dois vetores não-nulos, então:
A . B = ||A|| . ||B|| . cos(teta)
Onde “teta” é o ângulo entre estes vetores.

Podemos provar esta fórmula através da lei dos cossenos:

||A - B||² = ||A||² + ||B||² - 2||A|| ||B|| cos ϴ

Logo: (A1 - B1)² + (A2 - B2)² = A1² + A2² + B1² + B2² - 2||A|| ||B|| cos ϴ

Realizando as somas e simplificando se os termos temos:

-2(A1B1) - 2(A2B2) = -2||A|| ||B|| cos ϴ

Colocando-se em evidência o -2 e simplificando-o em ambos os lados, temos:

A1B1 + A2B2 = ||A|| ||B|| cos ϴ

Como: A1B1 + A2B2 = A ∙ B

Então: A ∙ B = ||A|| ||B|| cos ϴ

Aplicações

Uma aplicação do produto escalar na física é a definição de trabalho W executado por uma força constante que atua ao longo de um percurso d:
W = F.d = F.d.cosθ

Exemplos

Calcule o ângulo entre os vetores F = (1,1,4) e D = (-1,2,2)

Solução: Tomemos A como F, e B como D
Utilizando-se da equação:

Poderemos saber o ângulo de atuação das forças entre si, ou seja, a abertura entre os vetores da força.
Tomemos U como F, e V como d
Então temos:

Logo corresponde ao cos de 45 graus, então o ângulo entre estes vetores é de 45 graus.

Exercícios

1_ Determine o produto interno do vetor u pelo vetor v :