Produto escalar

Mecânica Geral

Produto Escalar, Produto Vetorial e Momento de uma Força

PRODUTO ESCALAR
O produto escalar define um procedimento particular de “multiplicação” de dois vetores. O produto escalar dos vetores A e B, escrito A⋅B e lido “A escalar B”, é denominado como o produto dos módulos de A e B e o cosseno do ângulo θ entre suas direções, conforme figura abaixo:

E é expresso na forma da equação: A ⋅ B = AB cos θ , p/ 0º ≤ θ ≤ 180º Propriedades de Operação 1. Lei Comutativa:
A⋅ B = B ⋅ A

2. Multiplicação por um escalar:

α A⋅ B = α A ⋅ B = A⋅ α B = A⋅ B α
3. Lei Distributiva:
A⋅ B + D = A⋅ B + A⋅ D

( ) ( ) (

( ) ( ) )

) ( ) (

Operações com vetores cartesianos: i ⋅ i = (1)(1) cos 0 0 = 1 i ⋅ j = (1)(1) cos 90 0 = 0

i ⋅k = 0 , j ⋅ k = 0 e k ⋅i = 0 j ⋅ j = 1, k ⋅ k = 1

Se A = Axi + Ay j + Az k e B = Bxi + By j + Bz k , então: A ⋅ B é:
A ⋅ B = A x i + Ay j + A z k ⋅ B x i + B y j + B z k
⎛ ⎝ ⎞ ⎠ ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ ⎛ ⎝ ⎞ ⎠

(

)(

)
⎛ ⎝ ⎞ ⎠ ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ ⎛ ⎝ ⎞ ⎠

A ⋅ B = AxBx ⎜ i ⋅ i ⎟ + AxBy ⎜ i ⋅ j ⎟ + AxBz ⎜ i ⋅ k ⎟ + AyBx ⎜ i ⋅ i ⎟ + AyBy ⎜ i ⋅ j ⎟ + AyBz ⎜ i ⋅ k ⎟ + AzBx ⎜ i ⋅ i ⎟ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + A zB i ⋅ j + A z B i ⋅ k
⎛ y⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ z⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠

A ⋅ B = AxBx + AyBy + AzBz
Prof. Ismael Freire – Universidade do Grande ABC – UniABC – 1º Semestre de 2009 1

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Produto Escalar, Produto Vetorial e Momento de uma Força

Aplicações O produto escalar tem duas importantes aplicações em mecânica. 1. O ângulo formado entre dois vetores ou linhas que se interceptam. O ângulo θ entre as direções dos vetores A e B conforme figura anterior pode ser determinado a partir de: A ⋅ B = AB cos θ e escrito como:

θ = cos −1 ⎜

⎛ A⋅ B ⎞ ⎟ , p/ 0º ≤ θ ≤ 180º ⎜ AB ⎟ ⎝ ⎠

Nesta expressão, A⋅B é calculado pela equação A ⋅ B = AB cos θ . Em particular, observe que se A⋅B = 0, e θ = cos-10 = 90°, e, portanto A será perpendicular a B. 2. As componentes de um vetor, paralela e perpendicular a uma linha.