produto escalar

Definição Algébrica
Chama-se produto escalar de dois vetores

u  x1 i  y1 j  z1 k e v  x2 i  y2 j  z2 k
E representa-se por u.v ou u , v , ao número real u.v  x1 x2  y1 y2  z1 z2

1) Dados os vetores u=(3,5,8) e v=(-1,7,-2) calcule: a) u.v =
b) (u+v).(2u-v)=
c) u.u=
2) Dados os vetores u= (4,a,-1) e v=(a,2,3) e os pontos A(4,-1,2) e B(3,2,-1), determine o valor de a tal que u.(v+BA)=5

Sejam u, v e w vetores quaisquer e t um número real.
1)v.u = u.v
2)t(v.u) = (tv).u = v.(tu)
3)u.(v+w) = u.v + u.w
4)u.u = |u|2
5)u.v = 0 se e somente se u é ortogonal a v.

1)

Sendo |u|=4, |v|=2 e u.v=3, calcular:

a) (3u-2v).(-u+4v)

b) u  v

2

Dados dois vetores u e v , não nulos, e escolhido um ponto O qualquer, podemos escrever:
A
u

A = O + u e B = O + v.
O

B v ^

Chamamos ângulo de u e v a medida do ângulo AOB determinado pelas semi-retas OA e OB.

Indicamos o ângulo entre os vetores AÔB = (u ,v) , onde

0  (u, v)  
Observe que se ( u ,v ) = 0 , os vetores u e v tem o mesmo
.

sentido e se ( u, v ) = π , estes vetores tem sentidos contrários

Definição Geométrica de Produto Escalar
Sejam u e v vetores não nulos e (u,v) o ângulo entre eles, então:

u . v = | u ||v |cos( u , v )
Se um dos vetores for nulo temos u.v = 0

1) Sendo |u|=2, |v|=3 e 120° o ângulo entre u e v, calcular:
a)u.v
b)|u+v|
2) Se u=(-2,3,4) e v=(1,-1,1) determine o ângulo entre u e v.

Fixada uma base ortonormal {i,j,k}, chamamos cossenos diretores de um vetor u≠0, os cossenos dos ângulos que v forma com os vetores desta base.
Considere u=(x,y,z), =(v,i) , =(v,j)e =(v,k)



Cosα =



Cosβ=



Cosγ=

1)
2)
3)

Calcular os ângulos diretores de v=(1,1,0)
As ângulos diretores de um vetor são α,
45° e 60°. Determine α.
Calcule o vetor u sendo cos(u,i)= 2/2, cos(u,j)=0, (u,k) obtuso e |u|=5.

Sejam x e a dois vetores não nulos e β o ângulo entre eles.
Vamos decompor o vetor a em