produto escalar

PRODUTO ESCALAR de dois vetores
Se u = (x1 , y1 , z1 ) e v = (x2 , y2 , z2 ) s˜o dois vetores no I 3 ent˜o u · v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 . Analogamente, se u = (x1 , y1 ) e a R a v = (x2 , y2 ) s˜o dois vetores no I 2 ent˜o u · v = x1 x2 + y1 y2 . Obs: u · v ou u, v (lˆ-se u escalar v) a R a e
Exemplo 1 Em I 3 : (−1, 2, 0) · (5, 2, 3) = (−1) 5 + 2 × 2 + 0 × 3 = −5 + 4 + 0 = −1
R
Em I 2 : (−1, 2) · (5, 2) = (−1) 5 + 2 × 2 = −5 + 4 = −1
R
PROPRIEDADES do Produto Escalar
1)
2)
3)
4)

u·v =v·u u · (v + w) = u · v + u · w α (u · v) = (αu) · v = u · (αv) u · u > 0, se u = 0 e u · u = 0, se u = 0.

Para quaisquer vetores vetores u, v e w e n´mero real α, s˜o v´lidas: u a a
2

5) u · u = |u|
6) |u · v| ≤ |u| |v| (Desigualdade de Schwarz)
7) |u + v| ≤ |u| + |v| (Desigualdade Triangular)

´
DEFINICAO GEOMETRICA de produto escalar
¸˜
Se u e v s˜o vetores n˜o-nulos e θ o ˆngulo entre eles, ent˜o u · v = |u| |v| cos θ ou cos θ = a a a a

u·v
. Sendo |u| > 0 e |v| > 0,
|u| |v|

u · v = 0 ⇐⇒ cos θ = 0 ⇐⇒ θ = 90◦ ⇐⇒ u⊥v (ˆngulo reto) a u · v > 0 ⇐⇒ cos θ > 0 ⇐⇒ 0◦ ≤ θ < 90◦ (ˆngulo agudo) a u · v < 0 ⇐⇒ cos θ < 0 ⇐⇒ 90◦ < θ ≤ 180◦ (ˆngulo obtuso) a OBS: O vetor 0 ´ ortogonal a todo vetor, isto ´, 0 · v = 0, para todo v. e e
Exemplo 2 Mostrar que os seguintes pares de vetores s˜o ortogonais: a a) u = (1, −2, 3) e v = (4, 5, 2)

u · v = 1.4 + (−2) .5 + 3.2 = 4 − 10 + 6 = 0

b) i e k

i · k = (1, 0, 0) . (0, 0, 1) = 1.0 + 0.0 + 0.1 = 0

c) u = (1, −2) e v = (2, 1)

u · v = 1.2 + (−2) .1 = 0

Exemplo 3 (P´g. 67 – Ex. 19) Dados os pontos A (m, 1, 0), B (m − 1, 2m, 2) e C (1, 3, −1), determinar m de modo que o a triˆngulo ABC seja retˆngulo em A. Calcular a ´rea do triˆngulo. a a a a
−
−
→
AB = B − A = (m − 1, 2m, 2) − (m, 1, 0) = (−1, 2m − 1, 2)
−
→
AC = C − A = (1, 3, −1) − (m, 1, 0) = (1 − m, 2, −1)
−
− −
→ →
−
− −
→ →
AB⊥AC ⇒ AB · AC = 0 ⇒ (−1, 2m − 1, 2) · (1 − m, 2, −1) = −5 + 5m = 0 ⇒ m = 1