Produto escalar

PRODUTO ESCALAR:
O produto escalar é uma função binária definida entre dois vetores que fornece um número real, também chamado "escalar", como resultado. O produto vetorial, que é outra operação possível de se definir para vetores fornece, por outro lado, um novo vetor.
Considere dois vetores u ̅ = (u_1,〖 u〗_2,〖 u〗_3) e v ̅ = (v_1,v_2,v_3) de R^3(sistema de coordenadas cartesianas no espaço). O produto escalar de u ̅ e v ̅ é definido da seguinte forma: u ̅ • v ̅ = u_1 v_1+ 〖 u〗_2 v_2+ 〖 u〗_3 v_3.

A definição para o produto escalar de dois vetores do plano R^2 (sistema de coordenadas cartesianas no plano) é similar, se u ̅= (u_1,〖 u〗_2) e v ̅= (v_1,v_2) então: u ̅ • v ̅=u_1 v_1 + 〖 u〗_2 v_2.

As principais propriedades do produto escalar (todas de simples verificação) são as seguintes:
• comutativo: u ̅ • v ̅= v ̅• u ̅,
• distributivo: (u ̅ + ¯w) • v ̅= u ̅ • v ̅+ ¯w • v ̅,
• λ ∈ R,(λ u ̅) • v ̅= λ (u ̅ • v ̅).
• u ̅ • u ̅= 0 se, e somente se, u ̅=0 ̅.
Observe que se verifica a seguinte propriedade do módulo de um vetor:
||u ̅||2 = u ̅• u.

Representação Geométrica Percebe-se que ||A||•cos(θ) é a projeção de A em B.
O produto escalar de dois vetores A e B é o resultado do produto do comprimento (também chamado de norma ou módulo) de A pela projeção escalar de B em A. Onde θ é o ângulo formado pelos vetores e ||A|| e ||B|| são seus comprimentos.
Essa expressão somente contém uma definição do comprimento de um vetor como a raiz quadrada do seu produto escalar, mas não fornece meios de se calcular o comprimento do vetor. Entretanto, essa expressão permite o cálculo do ângulo θ entre os vetores: Note que não é necessário mencionar nenhum sistema de coordenadas para se obter o valor do produto escalar. A fórmula acima é válida independente do sistema de coordenadas.
Fisicamente, se A fosse uma força, o produto escalar mediria o quanto da força A estaria sendo aplicada na direção de B. Isto só é válido, entretanto,