máximos e mínimos

Máximos e mínimos: aplicações, gráficos e problemas. Definições
Seja y = f(x) definida em I = [a,b], dizemos que:
1 – f tem um máximo absoluto em x = c, se f(c)f(x), para todo x  I.
2 – f tem um mínimo absoluto em x = c, se f(c)f(x), para todo x  I.
3 – f tem um máximo relativo em x = c, se existe v(c); f(c)f(x), para todo x v(c)  I.

4 – f tem um mínimo relativo em x = c, se existe v(c); f(c)f(x), para todo x v(c)  I.

Teorema de Fermat
Se x = c é um extremo relativo de f , onde a < c < b, e f´(c) existe, então f´(c) = 0.

Ponto crítico
Definição: Seja f uma função contínua em um intervalo I, c  I. Se f´(c) = 0 ou se f´(c) não existe,então dizemos x = c é o PONTO
CRÍTICO da função f.

Teorema de Weierstrass
Se f é contínua em [a,b] então f tem um máximo absoluto e/ou um mínimo absoluto nesse intervalo. Esses extremos podem ocorrer: a) Nas extremidades;
b) Em c  (a,b); f´(c) = 0 ou f´(c) não existe.

Crescimento e Decrescimento
Proposição: Seja f uma função contínua em [a,b] e derivável em (a,b).
a) Se f´(x) > 0, para todo x  (a,b) então f é crescente em [a,b];
b) Se f´(x) < 0, para todo x  (a,b) então f é decrescente em [a,b].

Critérios para determinar os extremos de uma função
Teorema1: (critério da 1ª derivada)
Seja f uma função contínua num intervalo fechado [a,b] que possui derivada em todo ponto do intervalo (a,b) exceto possivelmente num ponto c.
a) Se f´(x) > 0 para todo x < c e f´(x) < 0 para todo x > c, então f possui um máximo relativo em c;

b) Se f´(x) < 0 para todo x < c e f´(x) > 0 para todo x > c, então f possui um mínimo relativo em c.

Teorema2: ( critério da 2ª derivada)
Sejam f derivável em (a,b) e c (a,b); f´(c) = 0, se f´´ (c) existe em (a,b), temos:
a) Se f´´ (c) < 0, então f tem um máximo relativo em x = c.
b) Se f´´ (c) > 0, então f tem um mínimo relativo em x = c.

Etapas para esboçar o gráfico
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Domínio;
Interseção com os