Máximos e mínimos

Professor Antonio Bartolini

1.

MÁXIMOS E MÍNIMOS. UM ESTUDO COMPLETO DA FUNÇÃO

Seja a função

f ( x) =

2x x +1
2

Primeiro vamos estudar o comportamento de f(x) quando x → -∞ e quando x→ +∞, assim:
2x
2

2x 2 = lim x = lim = = lim , resolvendo os limites lim f ( x) = lim 2 2 1 1 x x→∞ x + 1 x→∞ x + 1 x→∞ 1 + x→∞ lim 1 + lim 2 x→∞ 2 x→∞ x→∞ x x x2 do numerador e denominador teremos:

2 x

2 x→∞ x lim

2 , se x→ ∞+, ou seja tende ao infinito pelos valores positivos veremos que o limite do x→∞ x 2 numerador tenderá a zero positivo, 0+ ,porém se no lim , x → ∞-, ou seja x tende ao infinito pelos x→∞ x valores negativos o limite do numerador tenderá a zero negativo, 0-. lim

O denominador não afeta a divisão pois: lim 1 = 1 e x→∞ x→∞ x

lim

1
2

= 0 , (nesse caso como x está elevado ao quadrado, o fato de se caminhar ao infinito para -∞

ou +∞, determina 0+). Podemos então afirmar que o gráfico é uma curva com assíntotas em x=0, vindo pelo lado negativo e pelo lado positivo. Para ampliar nossas informações a respeito do gráfico de f(x), podemos determinar o ponto (0,y), 2.0 0 dessa forma fazendo x = 0, terermos: f ( 0) = 2 = =0 0 +1 1 Sabemos dessa forma que o gráfico passa pelo ponto (0,0) ou seja pelo centro do plano referencial adotado. Porém não temos ainda informação de como o gráfico se comporta pelo "miolo". Com as informações obtidas até aqui podemos afirmar que 1. gráfico tende ao infinito positivo "caindo para o zero" relativamente ao eixo positivo de f(x) 2. gráfico tende ao infinito negativo "subindo para o zero" relativamente ao eixo negativo de f(x) 3. ponto (0,0) pertence ao gráfico. Podemos estabelecer um primeiro esboço do gráfico como mostrado na figura I

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Professor Antonio Bartolini f(x) x

figura I