Matrizes

2. Determinantes 2.1 Definição Determinante é um número real que está associado a cada matriz quadrada. Toda matriz possui esse número e ele é único. Um mesmo número pode ser associado por mais de uma matriz. Se uma matriz tem determinante nulo dizemos que ela é singular. Nesse caso a matriz não admite inversa. Assim, antes de calcular a inversa de uma matriz devemos saber o valor do determinante para saber se é possível a inversão. Denotamos o determinante da matriz A por det(A) ou |A|. É preciso ter cuidado para não escrevermos A = 3, por exemplo, se o determinante da matriz A for igual a 3. O correto seria det(A) = 3 ou |A| = 3. Quando os elementos da matriz estiverem explicitados utilizamos parênteses e colchetes para representar uma matriz e barras (| |) para simbolizar um determinante, como na figura abaixo. 𝐴 = 𝐴 0 −1 −3 2 0 𝑜𝑢 𝐴 = −1 0 −1 −3 2 −3 2 → 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐴 = det 𝐴 = → 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐴 O cálculo do determinante à partir de como ele foi definido é uma tarefa complicada o que levou aluns matemáticos, ao longo da história, à desenvolver métodos alternativos. Se uma matriz tem ordem 1, o determinante é o próprio elemento da matriz. A partir daí temos um método exclusivo para ordem 2, um para ordem 3 e dois métodos que podem ser utilizados para qualquer ordem. Utilizamos os métodos gerais para ordens maiores que 3, já que não temos métodos exclusivos para elas. 2.2 Matrizes de ordem 2 O método alternativo para matrizes com duas linhas e duas colunas é bastante simples. Para obter o determinante desse tipo de matrizes multiplicamos os elementos da diagonal principal e em seguida os da diagonal secundária. O valor é obtido fazendo a diferença (subtração) entre o primeiro e o segundo produto, como no exemplo abaixo. Exemplo: 0 −1 −3 2 = 0.2 − −3 . −1 = −3 2.3 Matrizes de ordem 3 Chamamos esse método de Regra de Sarrus. Ela consiste em: (i) Copiar as duas primeiras colunas do lado direito do determinante; (ii) Feito isso, é possível