LISTA DE ALGEBRA

Lista 5 – GAAL - Transformações Lineares, Espaço e Subespaço Vetorial, Base, Dimensão, Produto Interno, Ortogonalidade, Autovalores e Autovetores

Transformações Lineares
1) Considere a base S = {V1, V2}de R³, em que V1 = (1, 1) e V2 = (1,0) e seja T: R²  R² o operador linear tal que T(V1) = (1, -2) e T(V2) = (-4, 1). Encontre uma fórmula para T(x,y) e use essa fórmula para obter T(5, -3).
Resposta: T(x,y) = (-4x+5y, x – 3y) e T(5,-3) = (-35, 14)

2) Considere a base S = { V1, V2, V3}de R³, em que V1 = (1, 1,1) , V2 = (1,1,0) e V3 = (1,0,0) e seja T(V1) = (2,-1,4) e T(V2) = (3,0,1) e T(V3) = (-1,5,1). Encontre T(2,4,-1).
Resposta: (15, -9, -1)

3) Seja V1, V2, V3 vetores num espaço vetorial V e seja T: V  R³ uma transformação linear tal que T(V1) = (1,-1,2), T(V2) = (0,3,2),T(V3) = (-3,1,2). Encontre T(2V1 – 3V2 + 4V3).
Resposta: (-10, -7, 6)

4) Quais das seguintes são transformações lineares?
a) L(x,y) = (x+1, y, x+y) b) c) L(x,y) = (x²+x, y-y²)
Resposta: somente b

5) Quais das seguintes são transformações lineares?
a) L(x,y,z) = (x+y, 0, 2x-z) b) c) L(x,y) = (x-y, 0, 2x+3)
Resposta: somente a

6) Determine se L é uma transformação linear. L: R²  R² definida por L(x,y) = (x+y+1, x-y).
Resposta: não é transformação linear
Espaço, Subespaço
7) Use o teorema (i)e (ii) de subespaço para determinar quais dos seguintes são subespaços de R³.
a) Todos os vetores da forma (a, 0, 0)
b) Todos os vetores da forma (a, 1, 1)
c) Todos os vetores da forma (a, b, c) com b = a+c
d) Todos os vetores da forma (a, b, c), com b = a+c+1
e) Todos os vetores da forma (a, b, 0)
Resposta: a, c, e

8) Determine quais dos seguintes são subespaços P3.
a) Todos os polinômios a0 + a1x + a2x² + a3x³ com a0 = 0.
b) Todos os polinômios a0 + a1x + a2x² + a3x³ com a0 + a1 + a2 + a3 = 0.
Resposta: a, b

9) Quais dos seguintes são combinações lineares de u = (0, -2, 2) e v = (1, 3, -1)?
a) (2, 2, 2) b) (3, 1, 5) c) (0, 4,5) d) (0, 0, 0)