Algebra lista

Curso de Geometria Analítica
Abrangência:Graduação em Engenharia e Matemática
Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis
Exercícios, Lista 07 - Base Ortonormal e Produtos com Vetores.

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1. Dados os vetores u (−1,1,1) , v=( 3,2,3), e w=(4,1,3), verificar sua condição de ortogonalidade, tomando os 2 a 2:
Para ser ortogonal X1.X2+Y1.Y2+Z1.Z2=0
Vamos comparar u e v: -1.3+1.2+1.3=2, portanto não são ortogonais v e w: 3.4+2.1+3.3=23, portanto não são ortogonais w e u: 4.(-1)+1.1+3.1=0, portanto são ortogonais
2. Dados os pontos A=(1, 2, 1 ), B=( 2, 3, 1 ) , C=( 2, 1, 1 ), determinar as coordenadas de um ponto D=(x0, y0, z0 ) de modo que ABCD seja um paralelogramo. A

C

B

D

Se os pontos formam um paralelogramo então podemos dizer que (B-A)=(D-C).
(B-A)=(1,1,0), e (D-C)=(X-2,Y-1,Z-1) então: X-2=1
Y-1=1
Z-1=0
X=3
Y=2
Z=1
O ponto D=(3,2,1)
3. Dados os vetores u =(m+1, 3, 1) e v =( 4, 2, n−1), determinar os valores de m e n , para que estes vetores sejam paralelos.
Para serem paralelos u e v precisam ser L.D, então:

=
2.(m+1)=4.3
2m+2=12 m=5 3.(n-1)=2.1
3n-3=2
n=5/3

4. Dados os pontos A=( x1, y1, z1), B=( x2, y2, z2 ) , obter as coordenadas do ponto
M=( xm, ym, zm), considerando que o ponto M é o ponto médio do segmento AB.
M-A=B-M
M-A=(xm-x1,ym-y1,zm-z1) e B-M=(x2-xm,y2-ym,z2-zm)

(xm-x1,ym-y1,zm-z1) =(x2-xm,y2-ym,z2-zm) xm-x1=x2-xm ym-y1=y2-ym

xm+xm=x2=x1
~

ym+ym=y2+y1

zm-z1=z2-zm

~

zm+zm=z2+z1

2xm=x2+x1

xm=(x2+x1)/2

2ym=y2+y1

~ ym=(y2+y1)/2

2zm=z2+z1

zm=(z2+z1)/2

5. Verificar se são colineares os conjuntos de pontos em cada caso:
a) A=(−1, −5, 0 ), B=( 2, 1, 3 ) , C=( −2, −7, −1 );
b) D=(2, 1, −1 ), E=( 3, −1, 0 ) , F =( 1, 0, 4 ).
Se forem colineares possuem a mesma direção, então são L.D,
A

B

C

=
D

F

E

~

-3=-3=-3, portanto são colineares.

=
,

portanto não são colineares.

6. Determinar os valores de a e b , tais que w = a u +