Interpolacao

INTERPOLAÇÃO
Vamos supor que temos um conjunto de dados {xi,f(xi)} tal como na tabela abaixo: xi 0
1.5
3.0
4.5
6.0 f(xi) 0.001
0.016
0.028
0.046
0.057

Nosso problema é estimar o valor de f(x) para um valor de x que não tenha sido medido, como por exemplo, x=2,0. Portanto, interpolar um ponto x a um conjunto de n+1 dados {xi, f(xi)}, significa simplesmente, calcular o valor de f(x), sem conhecer a forma analítica de f(x). A interpolação polinomial consiste em se obter um polinômio p(x) que passe por todos os pontos do conjunto de (n+1) dados {xi, f(xi)}, isto é: p(x0)=f(x0) p(x1)=f(x1)
...
p(xn )=f(xn )
(note que a contagem começa em zero, portanto temos n + 1 pontos na expressão acima). O polinômio p(x) é chamado de polinômio interpolador. É possível se demonstrar que existe um único polinômio p(x) de grau menor ou igual a n que passa por todos os (n+1) pontos do conjunto {xi, f(xi)}.

Interpolação Linear Dados dois pontos distintos de uma função y = f(x): (x0, y0) e (x1, y1), deseja-se calcular o valor de y para um determinado valor de x entre x0 e x1, usando interpolação. Pode-se provar que o grau do polinômio interpolador é uma unidade menor que o número de pontos conhecidos. Assim sendo, o polinômio interpolador neste caso terá grau 1, isto é,

P1 (x) = a1x + a0
P1 (x0) = a1x0 + a0 = y0
P1 (x1) = a1x1 + a0 = y1

Para determiná-lo, os coeficientes a0 e a1 devem ser calculados de forma que se tenha um sistema linear.

a1x0 + a0 = y0 a1x1 + a0 = y1 onde a0 e a1 são as incógnitas e é a matriz dos coeficientes.
A determinante A é diferente de zero, sempre que x0  x1, logo para todos pontos distintos o sistema tem solução única.

Exemplo: Seja a função y = f(x) definida pelos pontos (0,00; 1,35) e (1,00 ; 2,94). Determinar aproximadamente o valor de f(0,73).

P1 (0) = a1 . 0 + a0 = 1,35  a0 = 1,35
P1 (1) = a1 . 1 + a0 = 2,94  a1 = 1,59

P1 (x) = 1,59 x + 1,35 P1 (0,73) = 1,59 . 0,73 +