Interpolação

Suponhamos que conhecemos a função f em apenas em (n+1) pontos do intervalo [a,b] e que pretendemos conhece-la em qualquer outro ponto desse intervalo. Para tal vamos, com base nos pontos conhecidos, construir uma função que “substitua” f(x) dentro de um limite de precisão. Uma tal função designa-se por função aproximante.
A escolha da função aproximante é aqui um polinómio, mas poderia ser outra. Se escolhêssemos funções racionais teríamos interpolação racional, se escolhêssemos funções exponenciais teríamos interpolação exponencial.
Seja, então, f uma função definida em A, f: A ⊆ ℜ →ℜ, e admitamos que são conhecidos os pontos (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ..., (xn, f(xn)), com xi < xi+1, i=0,..., n-1 sendo x0=a e xn=b. Pretende-se aproximar f(x), x∈[ x0, xn], por um polinómio
Pn(x)=anxn+an-1xn-1+...+a2x2+a1x+a0 (1) tal que nos pontos conhecidos Pn(x) coincida com a função f(x), i.é., que satisfaça:
Pn(xi)=f(xi) i=0,...,n (2)
Diremos que Pn(x) é um polinómio interpolador para f(x) nos pontos dados, (xi, f(xi)) i=0,...,n, que serão o suporte da interpolação.
Assim, dados (n+1) pontos (xi, f(xi)), i=0,...,n, a existência de um polinómio que satisfaça (2) e acerca da unicidade e do grau do polinómio temos informação através do seguinte teorema:
Teorema: Sejam dados (n+1) pontos distintos x0, x1, ..., xn, (xi≠ xj), e os valores de f(x) nesses pontos f(x0), f(x1), ...,f(xn). Então existe um único polinómio Pn(x) de grau inferior ou igual a n que satisfaz a f(xi)=Pn(xi), i=0, ...,n.
Pelo teorema anterior, vamos construir um polinómio de grau um,
P1(x)=a0+a1x
Mas P1(x) tem de ser tal que:
⎩⎨⎧====11110001)()()()(yxfxPyxfxP
Para obtermos o valor dos coeficientes a0 e a1 temos que resolver o sistema anterior em ordem a a0 e a1. A matriz dos coeficientes é, A=, sendo que det(A)=x⎥⎦⎤⎢⎣⎡1110xx0-x1. O sistema anterior tem solução única se det(A)≠0, i.é., se x0≠x1. Ou seja, para pontos distintos o sistema tem solução única.
Interpretação Geométrica
O polinómio