Interpolação

Interpolação Polinomial Linear
Objetivos: O objetivo deste trabalho é mostrar interpolação polinomial como forma de se obter uma aproximação para uma função f(x) que descreve um conjunto de dados. Com o foco principal na interpolação polinomial linear.
Introdução: A interpolação nada mais é do que um método usado para encontrar um valor intermediário em uma tabela de valores, assim relacionando uma variável de entrada e outra de saída.
Em outras palavras significa aproximar uma função f(x) por outra função g(x).
Um exemplo dessa necessidade fica expresso na tabela baixo que relaciona calor específico e temperatura da água:

Observando está tabela, fica fácil sabermos os valores referentes aos pontos analisados. Mas podemos utilizar a interpolação polinomial para encontrarmos valores intermediários, como por exemplo, o calor específico da água quando estiver a 32,5
Conceito de Interpolação
Sejam N + 1 pontos distintos:

Chamamos de nós de interpolação. E os valores de f (x) nesses pontos:

A interpolação polinomial de f (x) consiste em obter uma função g (x), tal que:

Representação gráfica:

Observem que, apesar das funções f (x) e g (x) gerarem curvas diferentes, os nós são iguais.
Interpolação Linear
Tendo (x0, y0) e (x1, y1), como pontos da função y=f(x) e x0 ≠ x1, pode-se fazer uso da interpolação para achar o valor de y quando o valor de x assumir valores entre x0 e x1. Ficando com a seguinte forma: f(x) ≈ P1(x) = a0+a1.x
Podendo ser calculado pela seguinte fórmula:

Exemplo: Calcule P1(0,2) dados os pontos abaixo.

Aplicando na fórmula temos:

Exemplo 2: Determinar o polinômio de grau menor ou igual a 2 que interpole o dados da tabela abaixo:

Montamos então, o sistema linear:

Resolvendo o sistema linear, obtemos que:

O polinômio P2 (x) que interpola f (x) nos pontos tabelados é:

Agora, se quisermos interpolar um valor intermediário a dois pontos tabelados, como por exemplo, x = 0,666, fazemos: