Funções

A função de demanda de um produto é p=30-x e o custo variarel por unidade é igual a 5.? a função de demanda de um produto é p=30-x e o custo variarel por unidade é igual a 5. perguntase: que preço deve ser cobrado para maximinizar o lucro, se o governo cobrar, junto ao produtor, um imposto de $ 3,00 por unidade vendido?

Tem-se que a função de demanda de um produto é dada por:

p = 30 - x . (I)

O custo variável por cada unidade produzida é igual a R$ 5,00. Sabendo-se que o governo cobra do produtor um imposto de R$ 3,00 sobre cada unidade vendida, pergunta-se qual o preço deve ser cobrado para maximizar o lucro do produtor.

Veja que as vendas da empresa são dadas pela receita produzida com a venda dos produtos. Chamando a receita de R(x), temos que:

R(x) = px . (II) . --------R(x) é a receita e "p" é o preço e "x" é a quantidade vendida.

Mas veja que, conforme (I), "p" é igual a 30-x. Então, vamos substituir, na igualdade (II), o valor de "p" por "30-x". Com isso, ficamos:

R(x) = (30-x)x
R(x) = 30x - x² ------ordenando, temos:
R(x) = -x² + 30x . (III).

Por sua vez, o lucro, que vamos chamar de L(x), é igual à receita menos os custos. Com isso, temos:

L(x) = R(x) - C . (IV) ------R(x) é a receita e "C" são os custos.

Como os custos são: R$ 5,00 de custo variável + R$ 3,00 de imposto por unidade vendida, então os custos são = R$ 8,00. Assim, substituindo "C" por R$ 8,00.

Então, o nosso L(x) ficará:

L(x) = R(x) - 8 --------mas R(x) = -x² + 30x, conforme (III). Então:

L(x) = -x² + 30x - 8

A nossa equação de L(x) acima tem os seguintes coeficientes:

a = -1 -----(é o coeficiente de x²) b = 30 ----(é o coeficiente de x) c = -8 ----( é o termo independente).

Veja que o lucro máximo vai ser dado pelo "y" do vértice do gráfico parabólico da função, que vai ter um máximo, já que o termo "a" é negativo. O "y" do vértice é dado pela seguinte fórmula:

yv = -(delta)/4a ----> -(b²-4ac)/4a -------Assim, fazendo as