funções

A função exponencial
José Silvestre, 2007-02-13

Índice
Aviso inicial _________________________________________________________________________ 1
Função exponencial __________________________________________________________________ 2
A sucessão

(1 + kn )n _______________________________________________________________________2

A sucessão

(1+ 1 )n e o número e ___________________________________________________________3 n Novamente a sucessão
A potência

ek

eo

(1 + kn )n ______________________________________________________________4

lim(1 + k ) n n

_____________________________________________________________4

Propriedades da função exponencial _____________________________________________________ 8

ex −1
Limite notável: lim
= 1 _____________________________________________________________8 x →0 x e x+h − e x
Derivada da função exponencial: lim
= e x _________________________________________9 h→0 h
Limite notável:

ex lim = +∞ x→+∞ x a

____________________________________________________________9

Aviso inicial
As várias “deduções” apresentadas neste texto não são verdadeiras demonstrações. Numa verdadeira demonstração matemática, apenas se parte de resultados previamente demonstrados – a menos que sejam axiomas, que nesse caso devem ser cuidadosamente seleccionados – e os passos intermédios são todos rigorosamente justificados.
Por exemplo: diz-se aqui que, da aproximação k k (k − 1) k 1+
+
+L ≈ 1+
2
1!n
2!n
n k k (k − 1)
1+
+
+L
2!n 2
(que em termos mais rigorosos significa lim 1!n
= 1) k 1+ n deveríamos poder concluir que

k k (k − 1)

  k
+
+ L  ≈ 1 + 
1 +
2
2!n
 1!n
  n e portanto n n

k k (k − 1)


 k lim1 +
+
+ L = lim1 + 
2
2!n
 1!n

 n
Acontece que o facto de a aproximação inicial ser válida não implica que ela permaneça válida quando elevamos cada membro a n : basta notar que, por exemplo, também n n +1