Função Modular

FUNÇÃO MODULAR

Definição

Em todo número x podemos associar um valor absoluto de x o um número real denominado módulo de x representado por x| e obtido do seguinte modo: |x| = x se x ≥0
|x| = -x se x se x < 0

1º) Se x é positivo ou nulo, o seu módulo é ele mesmo.

Exemplos:

a) O módulo de 5 é igual a 5, isto é |5| = 5

b) O módulo de 0 é igual a 0, isto é |0| = 0

c) O módulo de √4 é igual a √4, isto é |√4| = √4

d) O módulo de 21 é igual a 21, isto é |21| = 21

2º) Se x é negativo, o seu módulo é obtido trocando o seu sinal.

Exemplos:

a) O módulo de –2 é igual a +2, isto é |-2| = 2

b) O módulo de – √4 é igual a √4, isto é |- √4| = √4

c) O módulo de –10 é igual a 10, isto é |-10| = 10

O módulo ou valor absoluto de um número real é sempre positivo

Interpretação Geométrica

Sabemos que um número real x está associado a um ponto da reta. Podemos interpretar o módulo de x como sendo a distância do ponto que representa x ao ponto que representa o número 0.

No esquema abaixo, o número real 3 está associado ao ponto A. O módulo de 3 é igual à distância entre A e 0

Algumas Propriedades
Sendo x e y quaisquer números reais, teremos algumas propriedades: As propriedades acima são todas imediatas, no entanto, tem-se uma observação a fazer a respeito da propriedade M 6. Suponhamos por exemplo que x = 5, então temos:

Como a notação da raiz quadrada sem sinal representa a raiz quadrada positiva, segue que

que, às vezes, é utilizado como definição do valor absoluto.
O valor absoluto possui as seguintes propriedades fundamentais:

É não negativo

É positivo definido

É multiplicativo

É subaditivo

Outras propriedades importantes do valor absoluto incluem:

Simetria

Identidade dos indiscerníveis (equivalente a ser positivo definido)

Desigualdade triangular (equivalente à subadtividade)

Preservação da divisão (equivalente à