Exercicios aplicação derivadas

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5.12 – EXERCÍCIO – pg. 224
1. Um fio de comprimento l é cortado em dois pedaços. Com um deles se fará um círculo e com o outro um quadrado. a) Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das duas áreas compreendidas pelas figuras seja mínima? S = π r 2 + a 2 sendo r o raio do círculo e a o lado do quadrado. temos que 2πr + 4a = l Assim, ⇒ a= l − 2πr . 4

 l − 2πr  S =π r +   4  l 2 − 4 lπ r + 4π 2 r 2 S = π r2 + 16
2

2

− 4 lπ + 4π 2 .2r 16 − 4 lπ + 8π 2 r 2π r + =0 16 32 π r − 4 lπ + 8π 2 r = 0 S ′ = 2π r + r (32 π + 8π 2 ) = 4 lπ r= 4 lπ l = 2 32 π + 8π 8 + 2π

8π 2 16  l  8π 2  = 2π + S ′′ > 0 ⇒ é ponto de mínimo  8 + 2π  16   S ′′ = 2 π + Portanto: r = l l e a= . 8 + 2π 4+π 4l 4+π

1º Pedaço: 4 a =

392 lπ 4+π

2º Pedaço: 2 π r =

b) Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das áreas compreendidas seja máxima? Como não existe ponto de máximo na função devemos fazer somente um círculo ou um quadrado. Temos:

Acíruculo = π r 2 = π

l2 l2 = 2π 2

l2 Aquadrado = 16 ⇒ Acírculo > Aquadrado
Portanto, vamos usar o comprimento do fio para fazer somente um círculo de raio l r= . 2π

2. Determinar o ponto P situado sobre o gráfico da hipérbole xy = 1, que está mais próximo da origem.
Vamos considerar um ponto P ( x, y ) sobre a hipérbole e a distância d deste ponto até a origem. Temos: d = x 2 + y 2 mas y = 1 d= x + 2 = x
2

1 x

x4 + 1 x2

Para achar o mínimo de d podemos minimizar a função

f =

x4 + 1 x2 2x4 − 2 f′= x3 ⇒ 2x4 − 2 =0 x3 ⇒ x = ± 1 é ponto crítico

f′=0

2x4 − 2 = 0

393

2x4 + 6 x4 f ′′ 1 > 0 f ′′ = f ′′ −1 > 0

⇒ ± 1 são pontos de mínimo

Portanto P ( x, y ) = P (1,1) ou P (−1,−1) .

3. Um fazendeiro tem 200 bois, cada um pesando 300 kg. Até agora ele gastou R$380.000,00 para criar os bois e continuará gastando R$ 2,00 por dia para manter um boi. Os bois aumentam de peso a uma razão de 1,5 kg por dia. Seu preço de venda, hoje, é de R$ 18,00 o quilo, mas o preço cai 5