Determinantes

Determinantes
Defini¸
c˜ ao Defini¸ c˜ ao. Se A = [a11 ] ´e uma matriz 1 × 1, ent˜ao det A = a11 .
Se
a11 a21 A=

a12 a22 ´e uma matriz 2 × 2, ent˜ ao det A = a11 a22 − a12 a21 .
Exemplo 1. det 1
3

2
4

= −2;

1
0

det

0
1

= 1;

det

6
3

8
4

= 0.

Para definir o determinante de matrizes quadradas n × n para n ≥ 3, introduzimos o conceito de menor e cofator.
Defini¸
c˜ ao. Dada uma matriz A = (aij )n×n o menor do elemento aij , denotado A˜ij , ´e a submatriz (n −
1) × (n − 1) obtida de A eliminando-se a i-´esima linha e a j-´esima coluna de A.
Exemplo 2.


1
Se A =  4
7


2 3
5 6 ,
8 9

ent˜ao A˜23 =

1
7

2
8

.

Defini¸ c˜ ao. Dada uma matriz A = (aij )n×n o cofator do elemento aij , denotado Aij , ´e o n´ umero Aij = (−1)i+j det A˜ij .
Exemplo 3.


1
Se A =  4
7

2
5
8


3
6  , ent˜ao A23 = (−1)2+3 det
9

1
7

2
8

= (−1)[1 · 8 − 2 · 7] = 6.

Defini¸ c˜ ao. Seja A = (aij )n×n . O determinante de A, denotado det A, ´e o n´ umero definido por n det A =

aij Aij j=1 n

(−1)i+j aij det A˜ij

= j=1 onde i ´e qualquer inteiro fixado entre 1 e n.
1

Desta defini¸c˜ao, est´ a impl´ıcito o fato que o determinante pode ser calculado fazendo-se o desenvolvimento em cofatores segundo qualquer linha (ou seja, obtemos o mesmo resultado qualquer que seja a linha que escolhamos para calcular o determinante). Para uma demonstra¸c˜ao deste fato n˜ao trivial, veja o livro texto.
Este fato ´e muito u
´til no c´ alculo de determinantes de matrizes: na pr´atica, procura-se desenvolver em cofatores escolhendo a linha que torne os c´alculos mais f´aceis.
Exemplo 4.


1 det  1
1

2
2
3


3
4  = − det
7

2
3

3
7

+ 2 det

1
1

3
7

− 4 det

1
1

2
3

= −5 + 8 − 4 = −1






1 2
3
4
6
7
8
 5 6

7
8




det 
 9 10 11 12  = 1 det 10 11 12 − 2 det
14 15 16
13