Determinantes

Determinante é uma função que associa um escalar a uma matriz quadrada. É um importante conceito matemático, usado, por exemplo, na solução de sistemas de equações lineares.

Símbolos e determinantes de segunda ordem
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Na forma compacta, o determinante de uma matriz quadrada A é simbolizado por

det(A) #1.1#.

O determinante também pode ser representado pelos elementos da matriz, com a substituição dos colchetes por barras verticais. Seja, por exemplo, uma matriz 2×2,

A seguir, os símbolos mencionados e a operação aritmética que define o determinante da matriz.

#A.1#

O determinante acima é de segunda ordem, em razão da dimensão da matriz.

Determinantes de ordens superiores
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Determinantes de terceira ordem ou superior podem ser calculados por decomposição. Seja uma matriz genérica 3×3:

Considera-se, por exemplo, a primeira linha da matriz. Cada elemento dessa linha é multiplicado pelo determinante da matriz que restar pela eliminação da linha e da coluna que passam pelo elemento. E o determinante da matriz 3×3 é a soma dessas parcelas, considerando sinal positivo para coluna ímpar e negativo para coluna par.

Na operação acima, os determinantes de segunda ordem são calculados de acordo com fórmula do tópico anterior. Com a aplicação desse procedimento em cascata, determinantes de quaisquer ordens podem ser calculados.

Algumas propriedades dos determinantes
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#A.1#
Mantidas as ordens dos elementos, um determinante não se altera se linhas e colunas são trocadas.

#B.1#
Se duas linhas ou duas colunas são trocadas entre si, o determinante muda de sinal.

#C.1#
Se os elementos de duas linhas ou colunas são iguais entre si, proporcionais entre si ou uma linha ou coluna é nula, o determinante é nulo (k é um número qualquer).

#D.1#
Se os elementos de uma mesma linha ou coluna têm um fator de multiplicação comum, ele pode ser colocado em