Determinante De Vandermonde

Determinante de Vandermonde
Chama-se matriz de Vandermonde a toda matriz quadrada de ordem n x n , ou seja, com n linhas e n colunas, da forma geral:

Matriz de Vandermonde com n linhas e n colunas.

Nota: Alexandre Vandermonde - músico e matemático francês do século XVIII - 1735/1796. Observe que na matriz de Vandermonde acima, temos:
a) a primeira linha é composta por bases do tipo ai (i Î N , conjunto dos números naturais) elevado a zero, ou seja, a1, a2, ... , an elevadas ao expoente zero e portanto são todas iguais a 1, pois a0= 1 para todo a Î R , conjunto dos números reais.
b) a segunda linha é composta por bases do tipo ai elevado à unidade, ou seja, a1, a2, ... , an elevadas ao expoente um e portanto são todas iguais a si próprio, pois a1 = a para todo a Î R. Sendo assim, a matriz genérica acima pode ser reescrita na forma abaixo:

Numa matriz de Vandermonde, os elementos a1, a2, a3, ... , an são denominados elementos característicos da matriz. Assim por exemplo, na matriz de Vandermonde abaixo,

os elementos característicos são 5, 6 e 7. Observe que a matriz é de Vandermonde pois na terceira linha os elementos são obtidos da segunda linha, quadrando cada termo, ou seja:
25 = 52, 36 = 62 e 49 = 72.

Prova-se que o determinante de uma matriz de Vandermonde pode ser obtido multiplicando-se todas as diferenças possíveis entre os elementos característicos (ai – ak) com a condição de que i > k. Assim, por exemplo, na matriz M acima, o determinante será igual a :
|M| = (6 – 5).(7 – 6).(7 – 5) = 1.1.2 = 2.

Veja mais um exemplo: Calcule o determinante de Vandermonde abaixo:

Ora, como os elementos característicos são 5, 3, 2 e 4, o determinante será igual a:
|D| = (3 – 5).(2 – 5).(2 – 3).(4 – 5).(4 – 3).(4 – 2) = (-2).(-3).(-1).(-1).1.2 = 12.

Claro que este método de cálculo de determinantes, aplica-se somente a matrizes de Vandermonde.

Nota: como o determinante de Vandermonde é obtido multiplicando-se todas as diferenças possíveis (ai – ak) entre os