DE BERNOULLI; DE RICCATI; SEPARÁVEIS.

UNIVERSIDADE SANTA ÚRSULA – ENGENHARIA MECÂNICA
CÁLCULO 3
TRABALHO DE CÁLCULO 3 – ALUNO: Danilo
IDENTIFICAR E DEMONSTRAR AS METODOLOGIAS DE CÁLCULO PARA AS EQUAÇÕES: DE BERNOULLI; DE RICCATI; SEPARÁVEIS.

EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE BERNOULLI: IDENTIFICAÇÃO:
A Equação Diferencial de Bernoulli, não confundir com a Equação de Bernoulli para Mecânica dos Fluidos, é uma equação diferencial ordinária não linear de primeira ordem que se apresenta da seguinte forma: y^'+P(x)y=Q(x) y^n
Onde n é qualquer número real. Para n≠0 e n≠1 esta equação não é linear. DEMONSTRAÇÃO:
Seja a equação y^'+P(x)y=Q(x) y^n. Dividimos ambos os membros por y^n. y^(-n) y^'+P(x) y^(1-n)=Q(x).
Seja w=y^(1-n). Derivando w, temos: w^'=(1-n) y^(1-n-1)=(1-n)y^(-n) y'. Multiplicando ambos os membros por1-n, temos:
〖(1-n)y〗^(-n) y^'+(1-n)P(x) y^(1-n)=(1-n)Q(x). Ou seja, w^'+(1-n)P(x)w=(1-n)Q(x). EXEMPLO:
Seja a equação: dy/dx+1/x y=〖xy〗^2. Dividimos ambos os membros por y^2.
〖y^' y〗^(-2)+1/x y^(-1)=x.
Sendo w=y^(-1); Logo, w^'=-y^(-2) y'.
〖y^' y〗^(-2)+1/x y^(-1)=x é equivalente a 〖-y〗^(-2) y^'-1/x y^(-1)=-x.
Substituindo y por w, temos: w^'-1/x w=-x.
Seja P(x)=-1/x e Q(x)=-x.
Integrando, temos: ∫▒P(x)dx= ∫▒〖-1/x dx〗=ln|x|=ln|x|^(-1), onde, e^∫▒P(x)dx=e^(ln|x|^(-1) )=x^(-1) assim, ∫▒e^∫▒P(x)dx Q(x)dx=∫▒〖|x|^(-1) (-x)dx〗
Sendo a solução geral: e^∫▒P(x)dx w=∫▒e^∫▒P(x)dx Q(x)dx+C, onde C é uma constante qualquer.

2. EQUAÇÃO DE RICCATI:
2.1 IDENTIFICAÇÃO:
É uma equação diferencial ordinária não linear de primeira ordem que se apresenta da seguinte forma: dy/dx=a(x)+b(x)y+c(x)y^2 Onde a(x),b(x)e c(x)são três funções que dependem de x.
2.2 DEMONSTRAÇÃO:
Seja a equação y^'=e^x y^2-y+e^(-x) e a solução geral y_1 (x)=〖-e〗^(-x) cotx
Substituímos y=y_1+1/v ∴y'=〖y'〗_1+v'/v^2 . Aplicando na equação de Riccati, temos:
〖y^'〗_1-v^'/v^2 =e^x (y_1^2+2 y_1/v+1/v^2 )-y_1-1/v+e^(-x) v^2 (〖y^'〗_1-e^x y_1^2+y_1-e^(-x)=v^'+(〖2y〗_1 e^x-1)v+e^x
v^'-(2cotx+1)v=-e^x