Eq. diferênciais

Capítulo 3 Edo’s de Primeira Ordem
3.1 Introdução
Neste capítulo estamos interessados em obter e analisar as soluções das edo’s de primeira ordem. Isto é, edo’s que podem ser escritas na forma: F (y ′, y, x) = 0 ou y ′ = f (x, y)

Estudaremos vários métodos elementares de resolução de vários tipos especiais de edo’s de primeira ordem. Veremos a maioria dos métodos reduz o problema de obtenção de solução ao cálculo de primitivas. Sejam I ⊂ R e uma função H : I −→ R. Lembremos que uma primitiva de H em I é uma função G : I → R tal que G′ (x) = H(x) para todo x ∈ I. Sendo G uma primitiva de F , sabemos que, para toda constante c, G(x) + c também é uma primitiva de H. A família das primitivas de H é denominada de integral indefinida de G e denotada por H(x) dx = G(x) + c. Ou seja, d G(x) dx = dx H(x) dx = G(x) + c. (3.1)

Isto é, Φ(x) = G(x) + c é solução geral da edo: dΦ = H. dx

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3.2 Edo’s de Variáveis Separáveis
Exemplo 18. Considere a seguinte edo: dP α = − P, dt V onde α e V são constantes. Reescrevendo a equação (3.2), obtemos: d 1 dP α ln |P (t)| = =− . dt P dt V Integrando com respeito a t e usando (3.1), vemos que a solução geral da edo (3.2) é dada por α P (t) = c e− V t Vamos tentar generalizar o procedimento acima. O quê havia de especial nesta edo que nos permitiu determinarmos P ? Definição 9. Uma edo de primeira ordem é do tipo separável se é da forma: dy = f (x) g(y). dx (3.3) (3.2)

Observação 5. Se a é tal que g(a) = 0, a função y(x) = a é solução da edo (3.3).

3.2.1 Obtenção de Soluções não Constantes
Discutiremos a resolução da edo (3.3), supondo que f e g estão definidas em intervalos abertos I e J, respectivamente, e que f é contínua em I e g ′ é contínua em J. Resolução: 1. Reescrevemos a equação, “separando as variáveis”: 1 dy = f (x) g(y) dx 2. Consideremos uma primitiva H(x) de Isto é: 1 dH (x) = dx g(x) e 1 e uma primitiva G(x) de f (x). g(x) dG (x) = f (x) dx

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3. Usamos (3.1) em d H (g(y(x))) dx = dx 1 dy dx = g(y) dx f (x) dx,

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