equações diferenciais

As formas normal e diferencial
Muitas equações diferenciais ordinárias de 1a. ordem podem ser escrita na sua forma normal, dada por: y' = f(x,y)
Se a função f=f(x,y) pode ser escrita como o quociente de duas outras funções M=M(x,y) e N=N(x,y), temos: y' = M(x,y)/N(x,y)
Em geral, usamos o sinal negativo antes de M(x,y): y' = - M(x,y)/N(x,y) para poder reescrever:
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0

Exemplos:

A EDO y'=cos(x+y) está na forma normal.
A EDO y'=x/y está em sua forma normal, mas pode ser reescrita na forma diferencial xdx-ydy=0.

Equações Separáveis
Seja uma EDO M(x,y)dx+N(x,y)dy=0. Se M é uma função apenas da variável x, isto é M=M(x) e N é função apenas da variável y, isto é N=N(y), então a equação dada fica na forma:
M(x) dx + N(y) dy = 0 e ela é denominada EDO separável. Tal fato é motivado pelo fato que é possível separar as funções de modo que cada membro da igualdade somente possua um tipo de variável e assim poderemos realizar a integração de cada membro por um processo bastante "simples".

Exemplo: A EDO y'=x/y, que está na forma normal, pode ser reescrita na sua forma diferencial xdx-ydy=0, assim, xdx=ydy, então integrando cada termo independentemente, teremos:
½ x² + C1 = ½ y² + C2 e reunindo as constantes em uma constante C, obtemos: x²-y² = C
Esta relação satisfaz à EDO dada.

Equações Homogêneas
Uma função f=f(x,y) é dita homogênea de grau k se, para todo t real, tem-se que: f(tx,ty) = tk f(x,y)
Uma função f=f(x,y) é homogênea de grau 0 se, para todo t real, se tem que: f(tx,ty) = f(x,y)

Exemplos: Funções homogêneas f(x,y)=x²+y² é de segundo grau. f(x,y)=(x/y)² é de grau zero. f(x,y)=arctan(y/x) é de grau zero.
Uma forma simples de observar a homogeneidade de uma função polinomial é constatar que todos os monômios da função têm o mesmo grau e no caso de uma função racional (quociente de polinômios), todos os membros do numerador têm um mesmo grau e todos os membros do denominador também possuem um mesmo grau.