Exercicios Resolvidos Equa Oes Diferenciais

Solução:
1. A função está definida e possui derivadas de primeira e segunda ordem no intervalo .
Como e , temos Logo, é solução da equação dada.
2. A função está definida e é derivável no intervalo .
Calculando, temos: . Logo, não é solução da equação proposta.
3. A função está definida e é derivável no intervalo .
Calculando, temos: . Logo, é solução da equação proposta.
4. No intervalo a função está definida e possui derivada de primeira ordem.
Calculando:
e
Portanto, , como queríamos.
5. A função está definida e possui derivadas de todas as ordens no intervalo .
Como

obtemos

Portanto, não é solução da equação proposta.
6. A função está definida e é derivável no intervalo .
Derivando (fazendo uso do Teorema Fundamental do Cálculo) vemos que

Portanto, é solução da equação proposta.
7. A função está definida e possui derivadas de todas as ordens no intervalo .
Derivando, obtemos: e donde

Portanto, é solução da equação proposta.
8. A função está definida e possui derivadas de todas as ordens no intervalo .
Derivando, temos:

Logo, é solução da equação proposta, pois:

9. A função está definida e é duas vezes derivável em .
Derivando, temos: e Verificamos assim, que é solução da equação proposta:

Exercício 2

Solução:
1. Para que a função seja uma solução da equação proposta devemos ter:

e como para todo , teremos necessariamente , i.e. .
2. Para que a função seja uma solução da equação proposta devemos ter:

e como para todo , teremos necessariamente ou .
3. Para que a função seja uma solução da equação proposta devemos ter:

E como para todo , teremos necessariamente , i.e. ou ou .

Solução: A função está definida e possui derivada de segunda ordem no intervalo qualquer que seja o valor de . Além disso, para todo . Substituindo as derivadas de na equação e simplificar, obtemos ou .

Exercício 4

Solução:
1. As funções e são simultaneamente contínuas em todo . Logo, o problema de valores