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Exerc´ ıcios Resolvidos de MA 11
Unidades 1 e 2

A seguir, apresentamos alguns exerc´ ıcios resolvidos de forma completa.
Cabe observar, que existem outras maneiras de se resolver um mesmo exerc´ ıcio e, assim, as solu¸oes apresentadas n˜o s˜o unicas. c˜ a a ´

Exerc´ ıcios Recomendados
3. Para provarmos as equivalˆncias propostas, basta provarmos que e A ∪ B = B ⇒ A ⊂ B ⇒ A ∩ B = A ⇒ A ∪ B = B.
Antes, observemos que se A = ∅ ou B = ∅, ent˜o as implica¸oes acima s˜o a c˜ a verdadeiras. Suponhamos, ent˜o, ambos A e B n˜o vazios. a a
A ∪ B = B ⇒ A ⊂ B: Tome x ∈ A. Ent˜o, x ∈ A ∪ B. Como A ∪ B = B, a segue que x ∈ B. Isto mostra que A ⊂ B.
A ⊂ B ⇒ A∩B = A: Para provarmos que A∩B = A, temos que mostrar
A ∩ B ⊂ A e A ⊂ A ∩ B. Sendo a primeira implica¸˜o clara, provemos a ca segunda. De fato, tome x ∈ A. Por hip´tese, A ⊂ B. Assim, x ∈ B. o Portanto, x ∈ A e x ∈ B, ou seja, x ∈ A ∩ B, provando o desejado.
A ∩ B = A ⇒ A ∪ B = B: Para provarmos que A ∪ B = B, temos que provar A ∪ B ⊂ B e B ⊂ A ∪ B. Como a segunda implica¸ao ´ clara, vamos c˜ e provar a primeira. De fato, tome x ∈ A ∪ B. Ent˜o, x ∈ A ou x ∈ B. Se a x ∈ B, j´ temos o desejado. Se x ∈ A, ent˜o x ∈ A ∩ B, por hip´tese. Da´ a a o ı, x ∈ B.
4. Claramente, ambos os itens (a) e (b) se verificam para A = ∅ ou B = ∅.
Suponhamos, ent˜o, ambos A e B n˜o vazios. a a
(a) Como x ∈ (A ∪ B)c ⇐⇒ x ∈ (A ∪ B)
/
⇐⇒ x ∈ A e x ∈ B
/
/ c c c ⇐⇒ x ∈ A e x ∈ B ⇐⇒ x ∈ A ∩ B c ,
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segue que (A ∪ B)c = Ac ∩ B c .
(b) Como x ∈ (A ∩ B)c ⇐⇒ x ∈ (A ∩ B)
/
⇐⇒ x ∈ A ou x ∈ B
/
/
⇐⇒ x ∈ Ac ou x ∈ B c ⇐⇒ x ∈ Ac ∪ B c , segue que (A ∩ B)c = Ac ∪ B c .
7. Um exemplo de:
• implica¸ao verdadeira, com rec´ c˜ ıproca verdadeira: Se x ´ um n´mero e u
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real tal que que x = 0, ent˜o x ´ o n´mero real 0; a e u • implica¸ao verdadeira, com rec´ c˜ ıproca falsa: Se Q ´ um quadrado, ent˜o e a
Q ´ um pol´ e ıgono regular.
• implica¸ao falsa, com rec´ c˜ ıproca