Cálculo integral

1 – Volume máximo da caixa.

a) A equação do volume de uma caixa é dada por:

L1 é o lado da base feito com o lado que mede 10” da folha de papelão. Quando a folha for dobrada ele terá um lado da base da caixa e mais duas alturas, que são iguais a x. L2 é o lado da base feito com o lado que mede 15” da caixa de papelão. Quando a folha for dobrada ele terá um lado da base, um lado da tampa (que são iguais) e duas alturas.

A altura da caixa é fácil de perceber que é x. Dessa forma o volume fica igual a:

b) Tanto L1 quanto duas vezes L2 devem ser no mínimo 0 e no máximo o valor máximo do lado da folha. A altura da caixa tem que ser no mínimo 0 e no máximo metade do valor de cada lado da folha, já que existem duas alturas para cada lado. Portanto: Para L1: Para L2: Para H considerando o lado de 10”:

Para H considerando o lado de 15”:

Considerando das quatro condições acima temos que o domínio da função que determina o volume da caixa é:

c) Esboço da função: A função V(x) possui 3 raízes {0; 5; 7,5}, entre 0 e 5 a função assume valores positivos e entre 5 e 7,5 ela assume valores negativos, então a função de terceiro grau tem concavidade pra baixo entre 0 e 5 e concavidade pra cima entre 5 e 7,5. Como o domínio da função é somente entre 0 e 5 vamos esboçar apenas essa parte da função.

d) Os candidatos a ponto de máximo ou mínimo são as extremidades do domínio V(0) e V(5) e os pontos onde a derivada é igual a zero. V(0) = V(5) = 0.

Como X1 não pertence ao domínio da função, ele não pode ser considerado um possível valor de máximo para a função. Resta então calcular o valor da função para X2 e ver qual será o máximo.

O maior entre os 3 candidatos é o V(X2) então o volume máximo para a caixa é 66,02 pol3.

e) Usando a função fplot do matlab é possível fazer um gráfico da função e no gráfico é possível conferir o graficamente o maior valor da função, o qual foi destacado na figura tirada do gráfico feito no matlab. O comando completo que foi