Cálculo diferencial

Explica¸oes de Matem´tica A - 12o Ano c˜ a C´lculo Diferencial a Defini¸˜o 1 Diz-se que uma fun¸˜o f ´ deriv´vel ou diferenci´vel no ponto ca ca e a a x0 se existe e ´ finito o limite e f (x0 + h) − f (x0 ) h→0 h Ao valor desse limite chama-se derivada de f no ponto x0 e representase por f (x0 ). Designando x − x0 = h obtemos uma express˜o para f (x0 ) equivalente ` a a anterior. lim f (x0 ) = lim f (x) − f (x0 ) f (x0 + h) − f (x0 ) = lim x→x0 h→0 h x − x0

f (x) − f (x0 ) representa o declive da recta secante ao x − x0 gr´fico de f que passa nos pontos de coordenadas (x, f (x)) e (x0 , f (x0 )). a Quando x tende para x0 , as secantes ao gr´fico tendem para a tangente a ao gr´fico de f no ponto (x0 , f (x0 )) e cujo declive ´ f (x0 ). a e Nota: A raz˜o a

e a ca Defini¸˜o 2 De um modo geral, se f ´ deriv´vel no ponto x0 , a equa¸˜o ca y − f (x0 ) = f (x0 )(x − x0 ) define a recta tangente ao gr´fico de f no ponto (x0 , f (x0 )). a 1. Usa a defini¸˜o de derivada de uma fun¸˜o num ponto para calcular: ca ca 1.a f (2), sendo f (x) = x2 − 3x. 1.b g (0) sendo g(x) = ex+1 . 1.c f (1) sendo f (x) = 2x3 + x + 1. 1.d g (1), sendo g(x) = e2x . 2x . x+1 √ 1.f r (2), sendo r(x) = 2x. 1.e h (0), sendo h(x) = 1.g s (2), sendo s(x) = ln x. 1.h f (1), sendo f (x) = c LPO 3x2 + 1 . 2x 1

Explica¸oes de Matem´tica A - 12o Ano c˜ a 2. Calcula, usando as regras de deriva¸˜o, uma express˜o da fun¸˜o ca a ca derivada de: 2.a f (x) = x2 · ex ; 2.c g(x) = ex (x2 + x − 5); ln x ; 3 2.b f (x) = x · ln x; 2.d h(x) = x7 ;

2.e i(x) = 2ex +

2.f j(x) = (3x + 1)2 5x6 ; 3

2.g f (x) = (ln x)2 ; 2x4 − x5 ; 3

2.h g(x) =

2.i h(x) =

2.j i(x) = 5x(x − 1)4 ; 2.l f (x) = (ex + x − 1)3 ; 2.n h(x) = 2.p f (x) = 2.r h(x) = √ 5x + 1; 1 + ln x;

2.k j(x) = (x + 10)3 − 10(x + 1)2 ; 2.m g(x) = 5x2 (ln x + x); 2.o i(x) = 2.q g(x) = √ 3 ex − 1; e2x ;

√ √

√ 3

x2 + 1;

2.s f (x) =

1 ; x2 + 3 1 ; (x2 + 1)3 x2 ; ex x x−1
3

2.t g(x) =

2 ; ex + 1 x+1 ; x+5 ln x ; x x+1 ; + 2x + 3