Conicas e quadricas

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ.

CÔNICAS E QUÁDRICAS

Curitiba
2012

CÔNICAS E QUÁDRICAS

Trabalho apresentado à disciplina de
Matemática I da Universidade Tecnológica Federal do Paraná como requisito parcial para avaliação.

Curitiba
2012
Cônicas

Caso geral de Cônicas

Chama-se de cônica o conjunto de pontos do plano cujas coordenadas cartesianas Oxy, satisfazem a seguinte equação do 2º grau:

Sendo os coeficientes A, B, C, D, E, F reais e, A, B, C não podem ser simultaneamente nulos.

Analisando o termo Bxy:
Se B≠0, o eixo focal da cônica é oblíquo aos eixos cartesianos. Para que a equação perca o termo em xy, faz-se necessário a aplicação de uma rotação de eixos com amplitude uma rotação de amplitude Θ
Se B=0, a equação fica a seguinte:

O eixo focal da cônica é paralelo aos eixos cartesianos. Trasladando seus eixos obtemos o centro ou o seu vértice (para as cônicas não degeneradas).

Essa equação pode ser identificada como uma elipse, uma hipérbole ou uma parábola, conforme o valor do discriminante B2-4AC. Uma vez o discriminante igual a zero, a equação representa uma parábola, maior que zero uma hipérbole e, se for menor que zero, uma elipse.

Secções Cônicas

Cônicas degeneradas:

O Ponto: quando o plano α tiver apenas o vértice em comum com o cone, é o caso de uma elipse degenerada.

Par de retas concorrentes: o plano α contém o vértice e duas geratrizes, o que chamamos de uma hipérbole degenerada.

Uma reta: o plano α contém o vértice e uma geratriz do cone e, o plano tangencia o cone.

Par de retas paralelas: em uma particularidade obtemos duas retas paralelas quando da interseção de uma superfície cilíndrica circular (considerada uma superfície cônica de vértice impróprio) por um plano α paralelo ao seu eixo.