Conicas e quadricas

QUADRICAS

Elipsoide
[pic]
[pic]
Imagem tridimensional de um elipsóide

Em matemática, um elipsoide (pré-AO 1990: elipsóide) é um sólido que resulta da rotação de uma elipse em torno de um dos seus eixos. A equação de um elipsóide num sistema decoordenadas cartesiano x-y-z é

[pic] onde a, b e c são números reais positivos que determinam as dimensões e forma do elipsóide. Se dois dos números são iguais, o elipsóide é um esferóide; se os três forem iguais, trata-se de uma esfera.

Supondo a ≥ b ≥ c, então:

▪ a ≠ b ≠ c : o elipsóide é escaleno ▪ c = 0 : o elipsóide é plano (duas elipses em simetria) ▪ b = c : esferóide em forma de charuto ▪ a = b : esferóide em forma de comprimido ▪ a = b = c : esfera ▪ Volume O volume de um elipsóide é dado por[1]:

[pic]
Área da superfície

A área da superfície tem uma fórmula mais complexa, dada por:

[pic] em que

[pic] [pic] [pic] e [pic] e [pic] são os integrais elípticos incompletos do segundo e terceiro tipos.

Fórmulas aproximadas:

Elipsóide plano: [pic] Se [pic]: [pic] Se [pic]: [pic] Se o elipsóide é escaleno: [pic] onde p ≈ 1.6075 resulta num erro relativo máximo de cerca de 1.061% (fórmula de Knud Thomsen); um valor de p = 8/5 = 1.6 resulta bem para praticamente todos os elipsóides esferóides, com erro relativo máximo de 1.178% (fórmula de David W. Cantrell).

Transformações lineares

Ao aplicar uma transformação linear invertível a uma esfera, obtém-se um elipsóide

A intersecção de um elipsóide com um plano é um conjunto vazio, um ponto ou uma elipse.

Aplicação em cartografia

Nas ciências cartográficas, os elipsóides são utilizados como aproximação da forma irregular da Terra, já que representam o achatamento nos pólos, ao contrário das esferas. As projecções cartográficas têm como domínio coordenadas elipsoidais.