Calculo

Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matem´atica

C´ alculo 1
Lista de Aplica¸ c˜ oes – Semana 01
Temas abordados: Fun¸c˜oes
Se¸c˜oes do livro: 1.1 a 1.3; 1.5; 1.6
1) A figura abaixo ilustra um recipiente formado por dois cilindros circulares retos justapostos de altura 10m e raios respectivamente 12m e 6m. Suponha que, a partir do instante t = 0, o recipiente comece a ser abastecido a uma vaz˜ao constante de modo que o n´ıvel da a´gua s(t) no recipiente ´e dada por s(t) =

2t,

para 0 ≤ t ≤ 5

8t − 30, para 5 < t ≤ 6

onde a altura ´e dada em metros e o tempo ´e dado em segundos.
6
(a) Esboce o gr´afico da fun¸c˜ao s(t).
10

(b) Determine, caso existam, os instantes τ ∈ [0, 6] nos quais s(τ ) = 15.

10

(c) Determine a imagem da fun¸c˜ao s.
12
√

2) Considere a fun¸c˜ao f : (0, ∞) → R dada por f (x) = 1/ x. Pode-se mostrar que a inclina¸c˜ao da reta La , que ´e tangente ao gr´afico de f (x) no ponto Pa = (a, f (a)), ´e dada
−1
por √ . A figura abaixo ilustra o gr´afico da fun¸c˜ao, a reta La e os pontos Qa e Ra
2a a em que a reta intercepta os eixos coordenados. Julgue a veracidade dos itens a seguir, justificando suas respostas.
−x
3
(a) A reta La tem equa¸c˜ao y = √ + √ .
2a a 2 a
(b) Tem-se que Ra = (2a, 0).

Qa

1
(c) A ´area do triˆangulo ∆OPa Ra ´e igual a 2af (a).
2
(d) A ´area do triˆangulo ∆O Pa Qa ´e igual a

Pa

1 3
√ a.
22 a

(e) Para todo a > 0, a ´area do triˆangulo ∆OPa Qa ´e o dobro da ´area do triˆangulo ∆O Pa Ra .

O

Ra

3) Uma amostra radioativa emite part´ıculas alfa e, consequentemente, sua massa M =
M(t) ´e uma fun¸c˜ao decrescente do tempo. Suponha que, para um determinado material radioativo, essa fun¸c˜ao seja dada por M(t) = M0 e−k1 t , onde M0 > 0 ´e a massa inicial, k1 > 0 ´e uma constante e t > 0 ´e o tempo medido em anos. A meia-vida do material ´e o tempo necess´ario para que a massa se reduza `a metade da massa inicial.
Lista de Aplica¸c˜oes da Semana 01 - P´agina 1 de 3

(a) Calcule k1 sabendo que, depois de um ano e meio, a