Calculo

IFCE – INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DO CEARÁ

Seminário de Cálculo - III M U LT I P L I C A D O R E S D E LAGRANGE

Prof.: Roberto Carlos Aluno: Mardson Mendes Sidrão
FORTALEZA – CE 10 de julho de 2011

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)
• Giuseppe Lodovico Lagrangia; • Considerado um matemático francês, ele nasceu em Turim, Itália; • Primogênito; Pensamento: "Se eu tivesse sido rico, provavelmente não teria dedicado a minha vida à matemática."

NOSSO OBJETIVO
• Utilizar os multiplicadores de Lagrange para facilitar a resolução de problemas de Máx. e Min. em funções de duas ou mais variáveis, quando existe uma determinada condição (vínculo) para esses pontos críticos;

CONHECIMENTOS BÁSICOS

1. CURVA DE NÍVEL;

2. GRADIENTE DE UMA FUNÇÃO;

1. CURVA DE NÍVEL
• A curva de nível de uma função: é uma curva para qual suas variáveis assumem um valor constante;
• Devemos sempre analisar a função:
– Verificando se existe solução. – Quais soluções possíveis.

2. GRADIENTE DE UMA FUNÇÃO
• Caracteristicas do Gradiente:
– Sempre perpendicular as curvas de níveis da função.

• Circunferência:

GRADIENTES
• Coordenadas Cartesianas:

• Coordenadas Cilindricas:

• Coordenadas Esféricas:

Multiplicador de Lagrange
• Consideremos que sempre haverá um vínculo entre duas funções;
• Partiremos inicialmente de f(x,y) = z e g(x,y) = k;

Definição
•
•

Note que existem pontos que o gráfico vermelho cruza o gráfico azul;
Calcularemos portanto os gradientes dessas funções nesses pontos;

•

Note que:

•

Podemos concluir que, numericamente:

Definição
• Se um número real qualquer, pode ser escrito como um número real vezes um outro, partiremos desse princípio, para a nossa conclusão;
Onde λ é o fator de proporcionalidade, representando um número real e chamado de multiplicador de Lagrange;

•

Método
• Faremos aqui uma demonstração geral utilizando f(x,y,z), sujeita ao vínculo g(x,y,z) = 0. Como já demonstrado geometricamente na definição, anterior, introduziremos uma