Calculo variacional

C´lculo Variacional a por W. Freire, F. Calvi Junior e M. Nilvam

1. Introdu¸˜o ca O c´lculo diferencial de fun¸˜es de n vari´veis trata de fun¸oes do espa¸o Rn em R, a co a c˜ c f : Rn −→ R. O c´lculo variacional trata de funcionais, especificamente aqueles a definidos num espa¸o vetorial F de fun¸oes ao inv´s do espa¸o vetorial Rn . A grosso c c˜ e c modo pode-se dizer que o c´lculo variacional ´ o c´lculo diferencial de funcionais a e a E : F −→ R, onde F ´ um espa¸o vetorial de fun¸oes suficientemente comportadas. e c c˜ A finalidade destas notas ´ apresentar o c´lculo variacional de uma forma simples e ao e a mesmo tempo com um pouco de rigor matem´tico, mas objetivando a sua utilidade a na f´ ısica. O foco principal ´ a determina¸ao de pontos cr´ e c˜ ıticos (m´ximos ou m´ a ınimos ou, mais geralmente, pontos estacion´rios) de funcionais; estes pontos s˜o na verdade a a fun¸˜es que satisfazem as equa¸oes de Euler, as quais deduziremos aqui de uma forma co c˜ elegante matematicamente e utilizaremos em problemas matem´ticos e f´ a ısicos.

2. Derivada Funcional
O conceito chave no c´lculo diferencial de fun¸oes ´ o de derivada. No caso de fun¸˜es a c˜ e co com mais de uma vari´vel surgem as derivadas parciais e, mais geralmente, as derivadas a direcionais (as derivadas parciais s˜o derivadas direcionais particulares). O conceito a de derivada funcional (ou variacional) desempenha para funcionais o mesmo papel que o conceito de derivada direcional desempenha para fun¸˜es de n vari´veis. Vamos co a apresentar o conceito de derivada funcional fazendo analogia com derivadas direcionais de fun¸oes. c˜ 2.1 - Derivadas Direcionais
Considere uma fun¸˜o de n vari´veis, digamos1 f : Rn −→ R, que a cada ponto ca a x = (x1 , x2 , ..., xn ) do espa¸o Rn associa um unico valor f (x) em R. A derivada c ´
(direcional) de f com respeito ao vetor v = (v1 , v2 , ..., vn ) ∈ Rn no ponto x ´ o n´mero e u
dado