Cálculo variacional

Universidade Federal de Alagoas – UFAL Centro de Tecnologia – CTEC Departamento de Engenharia Estrutural – EES Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil – PPGEC

Disciplina: Métodos Matemáticos para Engenharia (EES-100) Professor: Eduardo Nobre Lages ([e-mail])

Introdução
Cálculo Diferencial versus Cálculo Variacional

Busca pontos estacionários de funções Domínio:

Busca “pontos” estacionários de funcionais Domínio: Espaço de funções

ℜN

z = 3 x y + sin x

I=

x2

x1

∫

1 + y′( x )2 dx

Problemas Variacionais Clássicos
• Determinação de geodésica no plano
Qual a curva plana, descrita por uma função y(x), de menor comprimento no domínio [x1,x2] ?

y y2 y1

y=y(x)

Funcional
L=
x2 x1

∫

1 + y′( x ) 2 dx

x1

x2

x

Solução: a reta que une os pontos (x1,y1) e (x2,y2).

Problemas Variacionais Clássicos
• Problema da Braquistócrona (do grego significa tempo mínimo)
Problema proposto por John Bernoulli (1696). Sejam P0 e P1 dois pontos dados sobre um plano vertical. Deve ser encontrada uma curva unindo esses dois pontos de sorte que um ponto de massa m partindo de P0, que a percorra sob a influência de seu peso próprio, alcance P1 no menor tempo possível. Considere ainda a velocidade inicial v0 conhecida.
P0 x1

x t= Funcional x1 ∫
0

1 + y′( x )2 dx 2 2gy( x ) + v 0

y1

P1 y=y(x) Solução: ciclóide

y

Histórico
• Newton • Artigo escrito em 1671 (publicado em 1736) • pontos extremos – razão de mudança de f(x) é nula • Leibnitz (1684) – reta tangente é horizontal • Newton • Estudando o arrasto em corpos axissimétricos, chegou ao funcional y( x )y ′( x )3 I= ∫ dx 1 + y′( x )2 x1 x2 que em seu modelo físico simplificado era proporcional ao arrasto, deveria ser mínima. • Newton encontrou a solução, porém não fez a formalização geral para essa classe de problema.

Histórico
• John Bernoulli • Estabeleceu em 1696 o problema de braquistócrona • Soluções apresentadas por: