Aula11 12

2 Sistemas Equa¸co˜es Lineares Alg´ebricas
Professor: Wemerson D. Parreira.
Universidade Cat´ olica de Pelotas
Centro Polit´ ecnico 2012

Wemerson D. Parreira (UCPel)

C´ alculo Num´ erico 2012

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2.3. M´etodos Iterativos
Considere o seguinte sistema linear:

a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1




a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
..


.



an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = bn
De cada linha ´e separado o termo da diagonal, ou seja, x1 =

b1 − a12 x2 − a13 x3 − . . . − a1n xn a11 x2 =

b2 − a21 x1 − a23 x3 − . . . − a2n xn a22 ..
.
bi − xi =

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aij xj i=j aii

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2.3.1 M´etodo de Gauss-Jacobi

1

Inicialmente “chutam-se” valores iniciais (x01 , x02 , x03 , . . . , x0n )
“0” indica a primeira aproxima¸c˜ ao; 2

os valores de x0i s˜ ao substitu´ıdos no lado direito da Equa¸c˜ ao, gerando valores x1i ;

3

os valores de x1i s˜ ao substitu´ıdos no lado direito da Equa¸c˜ ao, gerando valores x2i ; e assim sucessivamente at´e que os valores de xi convirja para os valores procurados, com erros previamente estabelecidos.

, onde o sobrescrito

Erro
➪ Convenciona-se aqui erro inferido (∆xi ) como o m´ odulo da diferen¸ca entre um valor n−1 n calculado de x e o seu valor calculado na itera¸c˜ ao anterior. Assim, ∆xn
|.
i = |xi − xi

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2.3.1 M´etodo de Gauss-Jacobi

Crit´ erio de Convergˆ encia (Crit´ erio das linhas)

Seja o sistema linear Ax = b e seja αk = j=1 |akj |
. Se α = max {αk } < 1, ent˜ ao o
1≤k≤n
|akk |

j=k

m´etodo de Gauss-Jacobi gera uma sequˆencia {xk } convergente para a solu¸c˜ ao do
(0)
sistema dado, independentemente da escolha da aproxima¸c˜ ao inicial, x .

➪ O sistema linear converge sempre que o sistema for diagonal dominante, ou seja,
|aii | ≤ j=i |aij |.

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2.3.1 M´etodo Gauss-Jacobi

Exemplo: Resolver o sistema abaixo utilizando