Aula15 16 CN

3 Zeros Reais de Fun¸c˜oes Reais
Professor: Wemerson D. Parreira.
Universidade Cat´ olica de Pelotas
Centro Polit´ ecnico 2012

Wemerson D. Parreira (UCPel)

C´ alculo Num´ erico 2012

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3.3.1 M´etodo da Bissec¸c˜ao

Algoritmo da Bissec¸c˜ ao: Seja f (x) uma fun¸c˜ ao cont´ınua em um intervalo [a, b], como f (a).f (b) < 0 e a raiz de f (x) isolada em [a, b].
Dados de entrada:
Pontos extremos a e b do intervalo; precis˜ ao ou tolerˆ ancia m´ aximo de itera¸c˜ oes itmax.

max

e o n´ umero Sa´ıda: solu¸c˜ ao aproximada x ou mensagem “solu¸c˜ ao n˜ ao encontrada com a precis˜ ao exigida” (com a precis˜ ao desejada no n´ umero m´ aximo de itera¸co
˜es)

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3.3.1 M´etodo da Bissec¸c˜ao
Passo 1 Fa¸ca i = 1 e F A = f (a)
Passo 2 Enquanto i ≤ itmax execute os passos 3 a 6
Passo 3 Fa¸ca x =

(a + b) e F X = f (x)
2

(a + b)
< max , ent˜ ao 2
Sa´ıda (x) [procedimento executado com sucesso!]
FIM

Passo 4 Se F X = 0 ou

Passo 5 Fa¸ca i = i + 1
Passo 6 Se F A.F X > 0 ent˜ ao fa¸ca a = x e F A = F X
Caso contr´ ario fa¸ca b = x
Passo 7 Sa´ıda (Solu¸c˜ ao n˜ ao encontrada com a precis˜ ao exigida, refefina itmax ou
FIM
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3.4 M´etodo do Ponto Fixo (MPF)
Neste m´etodo a sequˆencia de aproxima¸co
˜es do zero α de uma fun¸c˜ ao f (x) (f (α) = 0) ´e obtida a partir de uma rela¸c˜ ao de recorrˆencia da forma xn+1 = φ(xn ) , com n = 0, 1, 2, . . . .

O ponto x0 ser´ a considerado uma aproxima¸c˜ ao inicial do zero α da fun¸c˜ ao f (x) e φ(x) ´e uma fun¸c˜ ao que tem α como ponto fixo, isto ´e, α = φ(α).
Pergunta: Dada uma fun¸c˜ ao f (x) com zero α, como determinar φ(x) para que tenha α como ponto fixo?

Isto pode ser feito a partir de uma s´erie de transforma¸c˜ oes alg´ebricas sobre a equa¸c˜ao f (x) = 0, transformando em uma equa¸c˜ao equivalente x = φ(x).
Nestas transforma¸c˜ oes deve-se tomar cuidado para que φ(x) esteja definida em α e