Aula13 14

3 Zeros Reais de Fun¸c˜oes Reais
Professor: Wemerson D. Parreira.
Universidade Cat´ olica de Pelotas
Centro Polit´ ecnico 2012

Wemerson D. Parreira (UCPel)

C´ alculo Num´ erico 2012

1 / 18

3.1 Introdu¸c˜ao
Dada uma fun¸c˜ ao real f definida e cont´ınua em um intervalo aberto I , chama-se de zero desta fun¸c˜ ao em I , a todo x ∈ I , tal que f (x) = 0.

➪ Note que na figura acima, f (x) possui 3 zeros reais (raizes reais) no intervalo [a, b].
➪ Como determinar essas ra´ızes numericamente?
Wemerson D. Parreira (UCPel)

C´ alculo Num´ erico 2012

2 / 18

3.1 Introdu¸c˜ao

Processo iterativo: (recordando...)
´ um processo que calcula uma seq¨
E
uˆencia de aproxima¸co
˜es x1 , x2 , x3 , . . . da solu¸c˜ ao desejada. O c´ alculo de uma nova aproxima¸c˜ ao ´e feito utilizando aproxima¸co
˜es
anteriores. Dizemos que a seq¨ uˆencia x1 , x2 , x3 , . . . converge para x , se dado > 0,
∃N ∈ N, tal que qualquer que seja n > N , |xn − x| < . Neste caso tem-se que lim xn = x

n→∞

o que tamb´em poder´ a ser indicado por xn → x

Wemerson D. Parreira (UCPel)

C´ alculo Num´ erico 2012

3 / 18

3.1 Introdu¸c˜ao

Metodologia:
Nos processos iterativos que estudaremos, a determina¸c˜ ao das ra´ızes de uma fun¸c˜ ao real de vari´ avel real ser´ a feita em duas etapas:

1

Isolar cada zero que se deseja determinar da fun¸c˜ ao f em um intervalo [a, b], sendo que cada intervalo dever´ a conter uma e somente uma raiz da fun¸c˜ ao f .

2

C´ alculo dos zeros aproximados utilizando um m´etodo iterativo, com precis˜ ao prefixada ou n˜ ao. Wemerson D. Parreira (UCPel)

C´ alculo Num´ erico 2012

4 / 18

3.2 Isolando Ra´ızes Reais
Para verificar se existe uma raiz real em um intervalo [a, b] usamos o seguinte teorema:
Teorema (existˆ encia de raiz real): Seja f : R → R cont´ınua num intervalo [a, b]. f (a).f (b) < 0 ⇒ ∃ ξ ∈ [a, b] tal que f (ξ) = 0
Teorema (unicidade da raiz real): Seja f : R → R cont´ınua num intervalo [a, b] e ainda existe a derivada, f (x), no itervalo (a, b)
f