Apostila Equa Es Diferenciais

Curso Ciˆ encias Biol´ ogicas LCE0164 Matem´ atica Aplicada
Profa. Roseli Aparecida Leandro
Referˆ
encia B´ asica: “Equa¸ c˜ oes Diferenciais elementares e problemas de valores de contorno”.
Willian E. Boyce & Richard C. Di Prima.
LTC - Livros T´ ecnicos e Cient´ıficos Editora S.A.
Quinta Edi¸ c˜ ao, 1994.

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Iniciando
O estudo de equa¸c˜oes diferenciais inaugurou-se no in´ıcio do c´alculo, com Isaac Newton

(1642-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) no s´eculo XVII (Boyce & DiPrima,
1992).
A equa¸c˜ao diferencial mais elementar ´e exatamente o problema fundamental do C´alculo
Diferencial e Integral e consiste no seguinte: dada uma fun¸c˜ao cont´ınua f (t) definida em
(a, b), desejamos obter todas as fun¸c˜oes deriv´aveis, x(t), definidas em (a, b), tais que dx(t) = f (t), para t ∈ (a, b). dt Para resolver esta “simples´´ equa¸c˜ao necessitamos nada mais nada menos do que a Teoria do C´alculo integral que, tem a sua origem em outros problemas mais antigos, como o c´alculo de ´areas.
A situa¸c˜ao ´e, de certa maneira semelhante ao problema da resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes alg´ebricas, isto ´e, ra´ızes de polinˆomios.

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Para resolver equa¸c˜oes como x + 1 = 0 temos os n´ umeros negativos, para 2x + 3 = 0 os n´ umeros irracionais, para x2 − 2 = 0 os n´ umeros irracionais e para x2 + 1 = 0 os n´ umeros complexos.
A quest˜ao que surge ´e inevit´avel: para resolver equa¸c˜oes P (x) = 0 com polinˆomios de grau n, cada vez maior, teremos que construir n´ umeros “n-polinomiais´´ cada vez mais abrangentes? Surpreendentemente a resposta ´e: N˜ ao. Basta que tenhamos os n´ umeros ´ complexos; o Teorema Fundamental da Algebra nos afirma que P (x) = 0 tem n solu¸c˜oes!
Embora, tais solu¸c˜oes nem sempre possam ser obtidas explicitamente, isto ´e, por meio de opera¸c˜oes alg´ebricas e radicia¸c˜oes efetuadas sobre os dados do problema.
Podemos afirmar que o C´alculo tamb´em ´e suficiente para resolver “todas´´ as equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias, mas n˜ao de forma