Métodos Matemáticos

M´todos Matem´ticos Aplicados ` Engenharia e a a Simulado 3a Prova 2013
Nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matr´
ıcula e Curso:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exerc´ 1) Fa¸a uma justificativa f´ ıcio c ısica do modelo da difus˜o do calor em uma barra finita a 1.5 pontos
Exerc´ 2) Mostre que se f uma fun¸˜o continuamente diferenci´vel e com f e f com limite ıcio ca a zero no infinito ent˜o a i f (x) cos(x)(ω) = ((ω + 1)f (ω + 1) + (ω − 1)f (ω − 1))
2
2.5 pontos
Resolu¸ao (parcial): c˜ Escrevemos cos(x) =
Fourier

eix +e−ix
2

e usamos diretamente a defini¸ao de Transformada de c˜ ∞
√1
2π

∞

f (x) cos(x)e−ixω dx =
−∞

1
√
2 2π

f (x)(eix + e−ix )e−ixω dx.
−∞

Observe que, usando integra¸˜o por partes e o fato que a fun¸ao f tende para zero ca c˜ no infinito, temos
∞

∞

f (x)eix e−ixω dx = f (x)e−ix(ω−1) |∞ + i(ω − 1)
−∞
−∞

f (x)e−ix(ω−1) dx
−∞

= i(ω − 1)f (ω − 1).
Fazendo com a outra exponencial contas parecidas, obtemos a resposta.
Exerc´ 3) Qualifique a equa¸ao diferencial parcial no m´ximo dos aspectos que puder e mostre ıcio c˜ a que existe uma transforma¸˜o linear r´ ca ıgida que transforma essa equa¸ao em uma c˜ equa¸ao canˆnica. Finalmente encontre uma solu¸ao da equa¸ao. c˜ o c˜ c˜ zxx − zxy + zyy = 0.
4 pontos
Resolu¸ao (parcial) c˜ ca e
Observamos primeiramente que B 2 − AC = 1 − 1 < 0 logo a equa¸˜o ´ do tipo
4
el´ ıptica. Vamos supor a transforma¸ao linear como sendo c˜ u = ax + by v = cx + dy, com a, b, c e d a ser determinados. Usamos as f´rmulas da apostila do Prof. Sodr´ o e pg 15 para obter
Azuu + Bzuv + Czvv = 0, com A = a2 − ab + b2 , B = 2ac + (bc + ad) + 2bd e C = c2 + cd + d2 e gostariamos de chegar ao tipo canˆnico zuu + zvv = 0.