Métodos Matemáticos

Questão 1
Seja a seqüência:
An = 
a) Mostre se converge ou não; se converge, encontre seu limite
b) Ilustre Graficamente

Solução:
a) Para sabermos se a seqüência é convergente ou não façamos de duas maneiras:

i) Pelo Teste da Razão no infinito temos:



Para a seqüência convergir esse valor tem que ser menor que 1, assim:

Porém, é também observado que esse limite tende para infinito (+∞), não atendendo, assim, à restrição de convergência.

Logo a seqüência An =  não converge. ii) Uma outra maneira de saber se é convergente ou não é pela simples observação do comportamento da seqüência:

E temos que


Para n>2 a seqüência será estritamente crescente, tornando-se cada vez maior à medida que n cresce, não existindo, assim, um limite superior.

Como a seqüencia é crescente e não é limitada superiormente ela não converge.

b)

Podemos observar claramente a partir do gráfico que a sequência diverge.

Questão 2
Seja a série:

a) Mostre se converge ou não; se converge, encontre a respectiva soma se possível; senão, pelo menos faça uma aproximação e estime o erro cometido.

b) Ilustre mostrando em gráfico a seqüência das somas parciais.

c) Se possui elementos de sinais opostos, mostre se a convergência é absoluta ou condicional.
Solução:
a) Utilizando o Teste da Razão para mostrar a convergência da série:
  

  
Como  , a série é absolutamente convergente pelo teste da razão.
Como toda série absolutamente convergente é convergente,

Agora, para podermos encontrar a respectiva soma da série, iremos dividir o somatório em   (i) + (ii) e achar a soma de (i) e (ii) separadamente.
Achando primeiro a soma de (ii):

Observando a série, vemos que se trata de uma série geométrica de razão  com  e primeiro termo 5 (A1), portanto sabemos que sua soma será:

Achando a soma de (i):

Para