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Vol. 3: Polinomios com Coeficientes Reais Jorge J. Delgado – Maria Lucia Torres Villela ´ IM-UFF 2007 2 Conteudo ´ ˆ 3 Polinomios com coeficientes reais 7 ˆ ˜ §1. Polinomios e operac¸oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 ˆ ˜ e propriedades . . . . . . . . Aula 25: Polinomios - operac¸oes 11 Aula 26: Divisibilidade - ra´ızes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Aula 27: Dispositivo de Briot-Ruffini . . . . . . . . . . . . . . . 37 ˜ em R[x] . . . . . . . . . §2. Numeros complexos e a fatorac¸ao ´ 47 Aula 28: Numeros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 49 Aula 29: Forma polar dos numeros complexos . . . . . . . . . ´ 61 ˜ em R[x] Aula 30: Fatorac¸ao 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 CEDERJ 6 J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) Cap´ıtulo 3 ˆ Polinomios com coeficientes reais ˜ Em tais ocasioes, sinto vibrar em mim, com grande vivacidade, √ o verdadeiro sentido de −1, mas creio que sera´ extraordinariamente dif´ıcil exprimi-lo com palavras . . . Gauss 1777-1855, Alemanha. ˆ Carl Friedrich Gauss, um mes antes de completar 19 anos, Gauss havia feito uma importante ˜ com descoberta - a construc¸ao ´ regua e compasso do pol´ıgono ˆ O objetivo deste volume e´ estudar os polinomios com coeficientes ˜ de adic¸ao ˜ e multiplicac¸ao ˜ e algumas propriedades reais, suas operac¸oes ˜ de poelementares,…

Equações polinomiais Equação polinomial ou algébrica é toda equação da forma p(x) = 0, em que p(x) é um polinômio: p(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 de grau n, com n ≥ 1. Veja alguns exemplos: x4 + 9x2 – 10x + 3 = 0 10x6 – 2x5 + 6x4 + 12x3 – x2 + x + 7 = 0 x8 – x6 – 6x + 2 = 0 x10 – 6x2 + 9 = 0 As raízes de uma equação polinomial constituem o conjunto solução da equação. Para as equações em que o grau é 1 ou 2, o método de resolução é simples e prático. Nos…

Questões de Vestibular: Matemática Polinômios e equações polinomiais UFRGS - Universidade Federal do Rio Grande do Sul - Questão 1: A equação x³ + 5x² – 2 = 0 possui: A - somente uma raiz positiva. B - exatamente duas raízes positivas. C - três raízes positivas. D - nenhuma raiz positiva. E - nenhuma raiz real. Nível da questão: Médio Tipo da questão: Simples Escolha UEPG - Universidade Estadual de Ponta Grossa - Questão 2: Assinale o que for…

Questões de Vestibular: Matemática Polinômios e equações polinomiais UFRGS - Universidade Federal do Rio Grande do Sul - Questão 1: A equação x³ + 5x² – 2 = 0 possui: A - somente uma raiz positiva. B - exatamente duas raízes positivas. C - três raízes positivas. D - nenhuma raiz positiva. E - nenhuma raiz real. Nível da questão: Médio Tipo da questão: Simples Escolha UEPG - Universidade Estadual de Ponta Grossa - Questão 2: Assinale o que for…

Lista de exercícios: Polinômios e Equações Algébricas – Problemas Gerais – Prof ºFernandinho Questões: 01.(GV) Num polinômio P(x) do terceiro grau, o coeficiente de x 3 é 1. Sabendo-se que P(1) = 0, P(2) = 0 e P(3) = 30, calcule o valor de P(– 1). 02.(GV) Se p e q são tais que o polinômio P(x) = (pq - 2).x 3  (p 2  q 2 - 5).x 2  (p  q - 3).x  2p - 5q  1 é identicamente nulo, calcule o valor de p 3  q 3 . 03.(Mauá) Determinar os valores de a, b e c na identidade: x 2  x  1…

numéricos N = Naturais = {0,1,2,3,4,5,6,.......} Z = Inteiros = {....-3,-2,-1,0,1,2,3.........} Q = Racionais = {todo número na forma , com p e q Z e q 0} I = Irracionais = {todo número que não é possível escrever na forma } R = Reais = Q I C = complexos = Reais e imaginários 2 – Potenciação Definição: Consideremos um número real a e um número natural n, com n 0. A expressão , denominada potência, representa um produto de n fatores iguais ao número real a. …

Atualmente tais conjuntos englobam os números naturais, inteiros, racionais, reais e complexos, denotados respectivamente por N, Z, Q, R e C. Os três primeiros podem ser apresentados de maneira direta e simples, como na seqüência: N = {0, 1, 2, 3, · · · } Z = {· · · , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, · · · } = {0, ±1, ±2, ±3. · · · } ½ ¾ p Q = : p e q ∈ Z, q 6= 0 q Note que os dois primeiros conjuntos são apresentados com forte apêlo ao bom senso e a uma espécie de noção intuitiva de…

Atualmente tais conjuntos englobam os números naturais, inteiros, racionais, reais e complexos, denotados respectivamente por N, Z, Q, R e C. Os três primeiros podem ser apresentados de maneira direta e simples, como na seqüência: N = {0, 1, 2, 3, · · · } Z = {· · · , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, · · · } = {0,±1,±2,±3. · · · } Q = ½ p q : p e q ∈ Z, q 6= 0 ¾ Note que os dois primeiros conjuntos são apresentados com forte apêlo ao bom senso e a uma espécie de noção intuitiva de…

anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0 Nos capítulos anteriores, durante o estudo de polinômios, já estudamos alguns teoremas que nos ajudam a encontrar as raízes de polinômios, são esses os seguintes: Se P(x) é um polinômio de coeficientes reais e z=a+bi é raiz de P, então z=a-bi também é E o corolário do teorema do resto visto no cap. 20: Se Pa=0, então P é divisível por x-a Munidos destas propriedades e do teorema que veremos a seguir, seremos capazes de encontrar todas as raízes de…

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA EMENTA DA DISCIPLINA: 1 – Conjuntos Numéricos 2 – Produtos Notáveis, Fatoração e Simplificação de Frações Algébricas. 3 – Potenciação 4 – Radiciação 5 – Equações Algébricas de 1º e 2º graus 6 – Modelamento matemático e resolução de problemas de 1º e 2º graus. 7 – Trigonometria no Triângulo retângulo 8 – Função DESCRIÇÃO ANALÍTICA DO PROGRAMA 1. Conjuntos Numéricos 1.1 – Teoria dos conjuntos numéricos: como surgiram os…