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------------------------------------------------- Matemática
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Frente II
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CAPÍTULO 22 – EQUAÇÕES POLINOMIAIS

1 – INTRODUÇÃO

Aprendemos, até agora, a resolver equações do primeiro e do segundo grau. Nossa meta, neste capítulo, é encontrar maneiras de resolver equações de graus maiores, ou seja, equações do tipo:

anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0

Nos capítulos anteriores, durante o estudo de polinômios, já estudamos alguns teoremas que nos ajudam a encontrar as raízes de polinômios, são esses os seguintes:

Se P(x) é um polinômio de coeficientes reais e z=a+bi é raiz de P, então z=a-bi também é

E o corolário do teorema do resto visto no cap. 20:

Se Pa=0, então P é divisível por x-a

Munidos destas propriedades e do teorema que veremos a seguir, seremos capazes de encontrar todas as raízes de muitos – mas não todos – os polinômios de grau maior sobre os quais não sabemos nenhuma informação.

2 – TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA

O teorema fundamental da álgebra formaliza algo que já vínhamos utilizando naturalmente na solução de problemas de polinômios, e enuncia o seguinte:

Seja um polinômio

px=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0

de grau n e x1,x2,…, xn as suas raízes (que não necessariamente são distintas). Então a forma fatorada de p(x) é dada por:

px=anx-x1x-x2…(x-xn)

Exercício Resolvido 1

Construir um polinômio, de coeficiente líder igual a 1, cujas raízes são 1,-1,2i e -2i

Resolução: px=ax-x1x-x2x-x3(x-x4) Coeficiente de grau líder = 1 significa a=1
Substituindo x1,x2,x3 e x4 pelas raízes dadas, vem:

px=1x-1x--1x-2ix+2i px=x4+3x2-4 Exercício Resolvido 2

Sabendo que x=3 é uma raiz do polinômio abaixo: px=2x3-4x2-10x+12 Fatore a expressão 2x3-4x2-10x+12

Resolução:

Como o polinômio é de grau 3, ele tem 3 raízes, dentre as quais 3 é uma delas. Podemos encontrar as outras duas utilizando relações de