Integral Definida

Integral Definida Seja P uma partição do intervalo [a, b] ⊂ R, ou seja, P = {x0 , x1 , x2 , x3 , ..., xn }, com a = x0 < x1 < x2 < x3 < ... < xn = b. Considere os subintervalos [xi−1 , xi ], com 1 ≤ i ≤ n. Seja ∆xi = xi − xi−1 o comprimento do subintervalo [xi−1 , xi ]. Defina |P | = max{∆xi , 1 ≤ i ≤ n}. Sejam f uma função contínua em [a, b] e ci ∈ [xi−1 , xi ], 1 ≤ i ≤ n. A soma n ∆xi f (ci ) = ∆x1 f (c1 ) + ∆x2 f (c2 ) + ∆x3 f (c3 ) + ... + ∆xn f (cn ) i=1 (soma da área dos retângulos de base ∆xi e altura f (ci )) é chamada soma de Riemann da função f no intervalo [a, b]. Ilustração 1: Definição: Sejam f um função definida em [a, b] e P uma partição desse intervalo. A integral definida de f em [a, b] é dada por: n b f (x)dx = lim a |P |→0 ∆xi f (ci ), i=1 se o limite existir. b Observação: Se f (x) > 0 para todo x ∈ [a, b], então f (x) dx corresponde a área da região a delimitada pelo gráfico da função f, o eixo x e as retas x = a e x = b. Ilustração 2: Área por falta f (ci ) = min{f (xt ), xt ∈ [xi−1 , xi ], 1 ≤ i ≤ n} n b f (x)dx > a ∆xi f (ci ) i=1 Ilustração 3: Área por excesso f (ci ) = max{f (xt ), xt ∈ [xi−1 , xi ], 1 ≤ i ≤ n} n b f (x)dx < a ∆xi f (ci ) i=1 Ilustração 4: Teorema: Se f é contínua em [a, b], então f é integrável em [a, b]. 1 Propriedades 1: Seja f contínua em [a, b]. b a f (x) dx = − 1.1) b f (x) dx a a 1.2) f…

Integral Definida Suponha que você conheça a taxa f(x) = dF/dx, na qual uma certa grandeza F está variando e deseje encontrar a quantidade pela qual a grandeza F variará entre x = a e x = b. Você pode primeiro encontrar F por antidiferenciação, e então calcular a diferença: Variação em F entre x= a e x = b = F(b) – F(a) O resultado numérico deste cálculo é chamado de integral definida da função f e é denotado pelo símbolo: ∫ O símbolo b f ( x) dx a ∫ b f ( x) dx…

Nesta seção, vamos aprender a usar o cálculo para determinar a área de regiões de forma incomum. Definição de Integral Definida Seja f uma função não-negativa e contínua no intervalo [a, b]. A área da região limitada pela curva de f, pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b é representada por A expressão é chamada de integral definida da função f de a até b, onde a é o limite inferior de integração e b é o limite superior de integração. Cálculo de uma Integral Definida…

5.5 – A INTEGRAL DEFINIDA Prof. Telma Regis 3º Semestre – Cálculo II Licenciatura em Matemática A Integral Definida Na secção anterior a medida da área de uma região foi definida como n ∑ n → +∞ A = lim f (c i ) ∆ x i =1 Este limite é um caso particular de um novo tipo de processo de limite que nos leva a definição de Integral Definida. Definindo... Seja f a função definida no intervalo fechado [a, b]. Vamos dividir esse intervalo em n subintervalos,…

Integral Definida Calculando a velocidade a partir da distância percorrida. Isso nos leva a noção de derivada, ou taxa de variação, de uma função. Vamos considerar, agora, o problema inverso: dada a velocidade, como podemos calcular a distância percorrida? Isso nos leva ao nosso segundo conceito chave, a Integral Definida, que calcula a variação total de uma função a partir de sua taxa de variação. Então a integral definida pode ser usada para calcular não só à distância, como também…

INTEGRAL DEFINIDA O matemático grego Arquimedes (287 – 212 A.C.) utilizou o denominado método de exaustão para determinar a quadratura da parábola. O método, cujo desenvolvimento foi creditado a Eudoxo (cerca de 370 A.C.), consiste em exaurir ou esgotar a região, cuja área se quer determinar, por meio de outras áreas já conhecidas. Vejamos agora como definir e calcular a área de uma região limitada por uma função f, contínua em um intervalo [a,b]. A B A B Se…

No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para determinar a área sob uma curva no plano cartesiano1 e também surge naturalmente em dezenas de problemas de Física, como por exemplo na determinação da posição em todos os instantes de um objeto, se for conhecida a sua velocidade instantânea em todos os instantes. [carece de fontes] O processo de se calcular a integral de uma função é chamado de integração.2 Diferentemente da noção associada de derivação, existem…

A RELAÇÃO ENTRE ÁREA E INTEGRAL DEFINIDA – REVELANDO ALGUNS PROBLEMAS Allan Escarlate (Mestrado em ensino de matemática - IM-UFRJ) escarlate@pg.im.ufrj.br Resumo Este artigo tem como objetivo expor os resultados de uma pesquisa feita com alunos universitários sobre suas concepções em relação ao conceito de integral definida e as relações entre este conceito e o conceito de área. Para isso, um questionário foi aplicado em um grupo de alunos do curso de Licenciatura em Matemática da UFRJ…

Integrais Definidas Introdução: No cálculo de integrais definidas utilizamos somas de muitos números. Para expressar tais somas de maneira compacta utilizaremos um símbolo chamado somatório :  ( sigma ) Somatório:  ( sigma) : representa a soma de um certo número de parcelas com alguma característica comum. A variável assume valores inteiros positivos sucessivos. Exemplos: 1) 2) 3) 3 n 2 = 0 2 12  2 2  3 2 = 14 n 0 4  (i  1) = ( 2+1) + (3+1) +(4+1) =…

INTEGRAIS INDEFINIDAS Os dois mais importantes instrumentos do cálculo são a derivada, já estudada anteriormente e a integral, motivação de nossos próximos estudos. A reunião dos cálculos diferencial e integral (ligação chamada de teorema fundamental do cálculo) tornou-se a ferramenta mais poderosa que os matemáticos já obtiveram para entender o universo. Antiderivadas e Integração Indefinida Exemplo: é uma antiderivada de . Notemos que há uma família de antiderivadas…