Integral Definida

Integral Definida
Seja P uma partição do intervalo [a, b] ⊂ R, ou seja,
P = {x0 , x1 , x2 , x3 , ..., xn }, com a = x0 < x1 < x2 < x3 < ... < xn = b.
Considere os subintervalos [xi−1 , xi ], com 1 ≤ i ≤ n.
Seja ∆xi = xi − xi−1 o comprimento do subintervalo [xi−1 , xi ].
Defina |P | = max{∆xi , 1 ≤ i ≤ n}.
Sejam f uma função contínua em [a, b] e ci ∈ [xi−1 , xi ], 1 ≤ i ≤ n. A soma n ∆xi f (ci ) = ∆x1 f (c1 ) + ∆x2 f (c2 ) + ∆x3 f (c3 ) + ... + ∆xn f (cn ) i=1 (soma da área dos retângulos de base ∆xi e altura f (ci )) é chamada soma de Riemann da função f no intervalo [a, b].
Ilustração 1:
Definição: Sejam f um função definida em [a, b] e P uma partição desse intervalo. A integral definida de f em [a, b] é dada por: n b

f (x)dx = lim a |P |→0

∆xi f (ci ), i=1 se o limite existir. b Observação: Se f (x) > 0 para todo x ∈ [a, b], então

f (x) dx corresponde a área da região a delimitada pelo gráfico da função f, o eixo x e as retas x = a e x = b.
Ilustração 2:
Área por falta f (ci ) = min{f (xt ), xt ∈ [xi−1 , xi ], 1 ≤ i ≤ n} n b

f (x)dx > a ∆xi f (ci ) i=1 Ilustração 3:
Área por excesso f (ci ) = max{f (xt ), xt ∈ [xi−1 , xi ], 1 ≤ i ≤ n} n b

f (x)dx < a ∆xi f (ci ) i=1 Ilustração 4:
Teorema: Se f é contínua em [a, b], então f é integrável em [a, b].

1

Propriedades 1: Seja f contínua em [a, b]. b a

f (x) dx = −

1.1) b f (x) dx a a

1.2)

f (x) dx = 0 a b

b

1.3)

f (x) dx, para todo k ∈ R

kf (x) dx = k a a

Propriedades 2:
2.1) Sejam f e g integráveis em [a, b], então b b

a

f (x) dx ±

(f (x) ± g(x)) dx =

g(x) dx. a a

b

2.2) Sejam f1 , f2 , f3 , ..., fn funções integráveis em [a, b], então a a

(f1 (x)+f2 (x)+f3 (x)+...+fn (x)) dx =

a

f1 (x) dx+

b

b

a

f2 (x) dx+ b a

f3 (x) dx+...+ b fn (x) dx. b 2.3) Se f (x) ≥ 0 em [a, b] e integrável em [a, b], então b f (x) dx ≥ 0.
a