Integrais triplas em coordenadas cilindricas e esféricas

Coordenadas Cilíndricas e Esféricas 1. Coordenadas Cilíndricas Em Geometria plana introduzimos o sistema de coordenadas polares para dar uma descrição conveniente de certas curvas e regiões. Existem dois sistemas de coordenadas semelhantes às polares, que conseguem nos fornecer uma descrição conveniente de algumas superfícies e sólidos. No sistema de coordenadas cilíndricas, um ponto P no especo tridimensional é representado pela tripla ordenada (r, θ, z), onde r e θ são coordenadas polares da projeção de P sobre o plano xy e z é à distância do plano xy ao ponto P, assim como mostra a Figura 1. y FIGURA 1 Para converter coordenadas cilíndricas para coordenadas retangulares utilizamos as seguintes equações: Já para converter coordenadas retangulares em coordenadas cilíndricas, utilizamos: Coordenadas cilíndricas são úteis em problemas que envolvem simetria em torno de um eixo, e o eixo z é escolhido para coincidir com o eixo de simetria. Por exemplo, o eixo do cilindro circular com equação em coordenadas cartesianas ele tem uma equação muito simples dada por é o eixo de . Em coordenadas cilíndricas Observe a Figura 2 abaixo: FIGURA 2 um cilindro.  EXEMPLO Descreva a superfície cuja equação em coordenadas cilíndricas é . - > SOLUÇÃO: A equação diz que o valor de , ou superior, de cada ponto na superfície é igual a , a distância do ponto ao eixo Como não aparece, ele pode variar. Então qualquer traço horizontal no…

Álvaro Fernandes Integrais triplas Seja w  f  x , y , z  uma função contínua definida numa região fechada e limitada G do espaço. Podemos associar a G um sólido no espaço. Subdividimos G em pequenos paralelepípedos traçando-se planos paralelos aos planos coordenados. Considere apenas os paralelepípedos no interior de G, como mostra afigura abaixo. Numeramos os paralelepípedos de 1 até n. Em cada um dos pequenos paralelepípedos Gk , k  1,2 ,..., n , escolhemos um ponto interno x k ,…

DERIVADAS PARCIAIS E APLICAÇÕES  INTEGRAIS MÚLTIPLAS  APLICAÇÕES DE INTEGRAIS MÚLTIPLAS BIBLIOGRAFIA  Básica  ÁVILA, Geraldo – Cálculo II – Livros Técnicos e Científicos. Ed. S.     S. Rio de Janeiro, 1981. DEMIDOVITH, Boris – Problemas e Exercícios de Análise Matemática. Ed. Mir Moscou. GRANVILLE, W. A – Elementos de Cálculo Diferencial e Integral. LEITHOLD, Louis – Cálculo com Geometria Analítica. Vol.. I e II – Ed. Do Brasil Ltda. SPIEGEL, Murray R. –…

coordenados. Numeramos os paralelepípedos no interior de T de 1 até n. Em cada um dos pequenos paralelepípedos Tk, escolhemos um ponto arbitrário (xk, yk, zk). Formamos a soma: onde ᐁVk é o volume do paralelepípedo Tk. Faz-se isso de maneira arbitraria, mas de tal forma que a maior aresta dos paralelepípedos Tk tende a zero quando n →ȹ Se existir , ele é chamado: INTEGRAL TRIPLA da função f (x, y, z) sobre a região T e representamos por Propriedades De forma análoga a…

Cálculo 3 Integrais Triplas em Coordenadas Cartesianas Conteúdos associados à Integrais Triplas em Coordenadas Cartesianas Integral como Somas Infinitas Funções de Várias Variáveis Integral Tripla em Coordenadas Cartesianas Integração por Substituição “u.du” Técnicas de Integração Integração por Partes “u.dv” Integrais Definidas Integrais Triplas • Propriedades de funções com três variáveis independentes. – Custo, lucro, capacidade de produção,…

INTEGRAIS DUPLAS E TRIPLAS CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Gabriel Felipe da Silva Licenciado em Matemática Joinville – Santa Catarina 2 INTRODUÇÃO: O presente material tem por objetivo, apresentar de maneira simples clara e objetiva as Integrais Múltiplas. Aqui ficamos limitados a conhecer as integrais duplas e triplas, sendo as demais possíveis de calcular de maneira análoga. Dentro do conteúdo de integrais duplas, encontram-se as definições, interpretações…

Integrais Triplas e Suas Aplicações Elementares E Aplicações das Equações Diferenciais Nome: Higor Domingos Nome: Jarbas Nome: Manoel dos Anjos Nome: Marcos Israel Albino de Oliveira Nome: Mawxell Nome: Tiago de Oliveira Curso: Engenharia Civil 4º “B” Faculdade: Pitágoras Matéria: Cálculo III Profº: Marlyse …

C´alculo III Departamento de Matem´atica - ICEx - UFMG Marcelo Terra Cunha Integrais Triplas em Coordenadas Polares Na aula 3 discutimos como usar coordenadas polares em integrais duplas, seja pela regi˜ao ser mais bem adaptada a este sistema, seja pela fun¸c˜ao ficar melhor escrita assim. Retornamos agora a este assunto para as integrais triplas com a mesma motiva¸c˜ao, mas com mais alternativas. Agora temos dois sistemas diferentes de coordenadas polares a tratar: as cil´ındricas e as…

C´lculo III a Departamento de Matem´tica - ICEx - UFMG a Marcelo Terra Cunha Integrais Triplas em Coordenadas Polares Na aula 3 discutimos como usar coordenadas polares em integrais duplas, seja pela regi˜o ser mais bem adaptada a este sistema, seja pela fun¸˜o ficar a ca melhor escrita assim. Retornamos agora a este assunto para as integrais triplas com a mesma motiva¸˜o, mas com mais alternativas. Agora temos ca dois sistemas diferentes de coordenadas polares a tratar: as…

3. INTEGRAIS MULTIPLAS Integrais duplas: Objetivos: Ao final do capıtulo espera-se que o aluno seja capaz de: 1. Encontrarov alord eu ma integral dupla; 2. Interpretar geometricamente uma integral dupla; 3. Dada uma regiao delimitada por funcoes, encontrar os limitantes que permitem calcular o valor da integral dupla; 4. Calcular integrais duplas em coordenadas polares; 5. Resolver exercıcios usando o Maple Integrais triplas: Objetivos: Ao final do capıtulo espera-se que o…