Integrais Triplas

Cálculo 3
Integrais Triplas em
Coordenadas Cartesianas

Conteúdos associados à Integrais
Triplas em Coordenadas Cartesianas
Integral como
Somas Infinitas

Funções de Várias
Variáveis

Integral Tripla em
Coordenadas Cartesianas

Integração por
Substituição
“u.du”

Técnicas de
Integração
Integração por
Partes “u.dv”

Integrais Definidas

Integrais Triplas
• Propriedades de funções com três variáveis independentes. – Custo, lucro, capacidade de produção, transmissão de calor, probabilidades.

• Volumes de formas tridimensionais
• Massa e momentos de sólidos
• Carga elétrica

Recordando: Integral como
Somas Infinitas
• Observe os retângulos que preenchem a região

Integrais Definidas como Limite da
Soma de Riemann
Limite superior

Sinal de Integral

Limite inferior

Função integrando

Variável de
Integração

Integral tripla iterada
• Podemos resolver a integral tripla como uma série de integrais simples iteradas.

Analisando uma Integral Tripla
• Numa integral tripla como
– D representa a região de integração ou o formato do objeto integrado, sendo substituído pelos limites em x, y e z.
– 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 é a função a ser integrada e representa a propriedade do corpo a ser calculada, seja volume, massa, momento de inércia, etc.
– dV representa que a integração é sobre um volume e será substituído por 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ou outra ordem de integração.

Exercícios – Thomas 10ed, pg. 393

Integral tripla como soma infinita
Considere uma caixa B. Ela pode ser dividida em infinitos cubos 𝐵𝑖𝑗𝑘 como na figura ao lado. Calcular uma integral tripla sobre a caixa seria equivalente a calcular uma propriedade de cada um dos cubinhos e somar todos os resultados para obter a propriedade sobre toda a caixa.

Uma integral tripla é o limite do somatório dos valores de uma função em todos os pontos de um corpo tridimensional.
Podemos ver na figura ao lado um pequeno cubo de dimensões em x, y e z.