Integrais Triplas

UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO
CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO
CALCULO DIFERENCIAL II

MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

SÃO LUÍS – MA
2014.1
Definição
Seja w = f (x, y, z) uma função definida e contínua numa região fechada e limitada T do espaço. Subdividimos T em pequenas sub-regiões traçando planos paralelos aos planos coordenados.

Numeramos os paralelepípedos no interior de T de 1 até n. Em cada um dos pequenos paralelepípedos Tk, escolhemos um ponto arbitrário (xk, yk, zk).
Formamos a soma: onde ᐁVk é o volume do paralelepípedo Tk.
Faz-se isso de maneira arbitraria, mas de tal forma que a maior aresta dos paralelepípedos Tk tende a zero quando n →ȹ
Se existir , ele é chamado: INTEGRAL TRIPLA da função f (x, y, z) sobre a região T e representamos por

Propriedades

De forma análoga a integrais duplas, temos:

Como mostra a figura a seguir:

Cálculo de Integrais Triplas
Através das três situações seguintes, o cálculo da integral tripla será reduzido, inicialmente, a resolução de uma integral dupla. Serão apresentados três casos: (i), (ii) e (iii).

(i) Domínio D:

(ii) Domínio D’:

(iii) Domínio D’’:

(i) A região T é delimitada inferiormente pelo gráfico z = h1(x, y) e superiormente pelo gráfico z = h2(x, y), onde h1 e h2 são funções contínuas sobre a região D do plano xy.

Logo, se, por exemplo, a região D for do tipo Dx:

a integral tripla será dada pela seguinte integral iterada tripla:

(ii) A região T é delimitada à esquerda por y = p1(x, z) e a direita por y = p2(x, z), onde p1 e p2 são funções contínuas sobre a região D’ do plano xz.

(iii) A região T é delimitada na parte de traz por x = q1(y, z) e na frente por x = q2(y, z), onde q1 e q2 são funções contínuas sobre a região D” do plano yz.

Exercícios

1) Encontre o volume da região no primeiro octante limitada pelos planos coordenados e pelos planos e .

Solução: