Integral Tripla Alvaro
Integrais triplas
Seja w f x , y , z uma função contínua definida numa região fechada e limitada G do espaço. Podemos associar a G um sólido no espaço. Subdividimos G em pequenos paralelepípedos traçando-se planos paralelos aos planos coordenados. Considere apenas os paralelepípedos no interior de G, como mostra afigura abaixo.
Numeramos os paralelepípedos de 1 até n. Em cada um dos pequenos paralelepípedos
Gk , k 1,2 ,..., n , escolhemos um ponto interno x k , y k , z k . n Formamos a soma de Riemman
f xk , y k , z k Vk ,
k 1
onde Vk x k y k z k é o volume
do paralelepípedo Gk . Isto é feito de maneira arbitrária, mas de tal modo que a maior aresta dos paralelepípedos Gk tenda a zero quando n .
Se existir
lim
n
f xk , y k , z k Vk
n k 1
,
ele é chamado de integral tripla da função f x , y , z sobre o sólido G e representamos por
G f x , y , z dV
Então lim
n
f xk , y k , z k Vk
n k 1
ou
G f x , y , z dxdydz .
G f x , y , z dxdydz .
Obs.: dV pode assumir qualquer uma das seis formas abaixo
dxdydz , dxdzdy , dydxdz , dydzdx , dzdxdy , dzdydx .
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Álvaro Fernandes
Propriedades da integral tripla
As integrais triplas satisfazem as seguintes propriedades: k f x , y , z dV k
f x , y , z dV , sendo k uma constante real.
a)
G
b)
G f x , y , z g x , y , z dV G f x , y , z dV
c)
G
G f x , y , z dV G1 f x , y , z dV
G g x , y , z dV .
G 2 f x , y , z dV ,
onde G G1 G2 como
mostra a figura abaixo.
Cálculo da integral tripla
As integrais triplas podem ser calculadas de forma análoga ás integrais duplas, através de integrações sucessivas.
Teorema: Seja w f x , y , z uma função contínua definida sobre um sólido G do espaço limitado inferiormente pela superfície z g 1 x , y e superiormente pela superfície z g 2 x , y . Seja R a projeção de G no plano xy. Então:
g2